1、学案70几何证明选讲(二)圆的进一步认识导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定自主梳理1圆周角、弦切角及圆心角定理(1)_的度数等于其所对_的度数的一半推论1：_(或_)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角_相等推论2：半圆(或直径)所对的_等于90.反之，90的圆周角所对的弧是_(或_)(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数2圆中比例线段有关定理(1)相交弦定理：_的两条_，每条弦被交点分成的_的积相等(2)切割线定理：从
2、圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的_(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条_，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广3切线长定理从_一点引圆的两条切线，_相等4圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角_推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的_(2)判定定理：如果四边形的_，则四边形内接于_推论：如果四边形的一个外角等于它的_，那么这个四边形的四个顶点_5圆的切线的性质及判定
3、定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_推论1：经过_且与_垂直的直线必经过切点推论2：经过_且与切线垂直的直线必经过_(2)判定定理：过半径_且与这条半径_的直线是圆的切线自我检测1如图在RtABC中，B90，D是AB上一点，且AD2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A_.2(2010南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC长为_3(2011湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_4如图所示，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于点D，若AD32
4、，CD18，则AB_.5(2010揭阳模拟)如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF12，PD4，则圆O的半径长为_、EFD的度数为_.探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例1 如图，O的两条弦AC，BD互相垂直，OEAB，垂足为点E.求证：OECD.变式迁移1 在ABC中，已知CM是ACB的平分线，AMC的外接圆O交BC于点N；若ACAB，求证：BN3MN.探究点二四点共圆的判定例2 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，AED，AFB的角平分线交于点M，且EMFM.求证：四边形ABCD内接于圆变式迁移2 如图
5、，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小探究点三与圆有关的比例线段的证明例3 如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)ADAE；(2)AD2DBEC.变式迁移3 (2010全国)如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.1圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递2要注意一些常用的添加辅助线的方
6、法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题3判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明4证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)5圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1如图，已知AB，CD是O的
7、两条弦，且ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别是E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正确的有_个2(2010湖南)如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A、B两点已知PA2，点P到O的切线长PT4，则弦AB的长为_ 第2题图第3题图3(2010陕西)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.4(2009广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB4，ACB45，则圆O的面积为_5已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，则圆O的半径R_.6如图，圆O是ABC的外接圆，过点
8、C的切线交AB的延长线于点D，CD2，AB3.则BD的长为_7(2011天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF，AFFBBE421.若CE与圆相切，则线段CE的长为_8(2010天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若，则的值为_二、解答题(共42分)9(14分)如图，三角形ABC中，ABAC，O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若ADCD1，求O的半径r.10(14分)(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，ABCBAD.求证：ABCD.11(14分)(2011江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分
9、别为r1与r2(r1r2)圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)求证：ABAC为定值学案70几何证明选讲(二)圆的进一步认识答案自主梳理1(1)圆周角孤同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半2.(1)圆相交弦两条线段长(2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的对角共圆5(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直自我检测1解析设切点为T，则DTAC，AD2DB2DT，A30，sin A.22解析连结CB，则DCACBA，又ADCACB90，ADCACB.AC2ABAD2612.AC2.3解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等
10、分点，BC为直径，可得CEB90，CBE30，AOB60，故AOB为等边三角形，AD，ODBD1，DF，AFADDF.440解析如图，连结BD，则BDAC，由射影定理知，AB2ADAC32501 600，故AB40.5430解析由切割线定理得PD2PEPF，PE4，EF8，OD4.又ODPD，ODPO，P30，POD602EFD，EFD30.课堂活动区例1 解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法证明作直径A
11、F，连结BF，CF，则ABFACF90.又OEAB，O为AF的中点，则OEBF.ACBD，DBCACB90，又AF为直径，BAFBFA90，AFBACB，DBCBAF，即有CDBF.从而得OECD.变式迁移1 证明CM是ACB的平分线，即BCAC，又由割线定理得BMBABNBC，BNACBMBA，又ACAB，BN3AM，在圆O内ACMMCN，AMMN，BN3MN.例2 解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补证明连结EF，因为EM是AEC的角平分线，所以FECFE
12、A2FEM.同理，EFCEFA2EFM.而BCDBADECFBAD(180FECEFC)(180FEAEFA)3602(FEMEFM)3602(180EMF)2EMF180，即BCD与BAD互补所以四边形ABCD内接于圆变式迁移2 (1)证明连结OP，OM，因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC.于是OPAOMA180，由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90，所以OAMAPM90.例3 解题导
13、引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证证明(1)AEDEPCC，ADEAPDPAB.因PE是APC的角平分线，故EPCAPD，PA是O的切线，故CPAB.所以AEDADE.故ADAE.(2)PCEPAD；PAEPBD.又PA是切线，PBC是割线PA2PBPC.故，又ADAE，故AD2DBEC.变式迁移3 证明(1)因为B，所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.课后练习区14解析在同圆或等圆
14、中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故成立，又由，得，正确26解析连结BT，由切割线定理，得PT2PAPB，所以PB8，故AB6.3解析ADBD(cm)，.48解析连结OA，OB，BCA45，AOB90.设圆O的半径为R，在RtAOB中，R2R2AB216，R28.圆O的面积为8.5解析如图，依题意，AOPA，ABPC，PA2，PB1，P60，在RtCAP中，有2OA2R2tan 602，R.64解析由切割线定理得：DBDADC2，即DB(DBBA)DC2，DB23DB280，DB4.7解析设BEa，则AF4a，FB2a.AFFBDFFC，8a22，a，AF2，FB1，BE
15、，AE.又CE为圆的切线，CE2EBEA.CE.8解析PP，PCBPAD，PCBPAD.，.9解过B点作BEAC交圆于点E，连结AE，BO并延长交AE于F，由题意ABCACBAEB，(3分)又BEAC，CABABE，则ABAC知，ABCACBAEBBAE，(6分)则AEBC，四边形ACBE为平行四边形BFAE.又BC2CDAC2，BC，BF.(10分)设OFx，则解得r.(14分)10证明由ABCBAD得ACBBDA，(4分)故A、B、C、D四点共圆，(6分)从而CABCDB.(8分)再由ABCBAD得CABDBA，因此DBACDB，(12分)所以ABCD.(14分)11证明如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径(6分)从而ABDACE.(9分)所以BDCE，于是.(12分)所以ABAC为定值(14分)