1、专题一 函数与导数 题型 1 函数中的方程思想函数与方程是高考的重要题型之一，一方面可以利用数形结合考查方程根的分布；另一方面可以与导数相结合，考查方程解的情况例1：已知函数 f(x)4x3x23，x0,2(1)求 f(x)的值域；x10,2，总存在x20,2，使f(x1)g(x2)0.求实数 a 的取值范围(2)设 a0，函数 g(x)ax3a2x，x0,2若对任意13解：(1)方法一，对函数 f(x)求导，令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增；当 x(1,2)时，f(x)0，f(x)在(1,2)上单调递减 得 f(x)43 1x
2、2x212.又 f(0)0，f(1)23，f(2)815，当 x0,2时，f(x)的值域是0，23.方法二，当 x0 时，f(x)0；当 x(0,2时，f(x)0，且 f(x)43 1x1x4312 x1x23，当且仅当 x1x，即 x1 时，“”成立当 x0,2时，f(x)的值域是0，23.(2)设函数 g(x)在0,2上的值域是 A.对任意 x10,2，总存在x20,2，对函数 g(x)求导，得 g(x)ax2a2.当 a0 时，g(x)0，函数 g(x)在(0,2)上单调递减使 f(x1)g(x2)0，0，23 A.g(0)0，g(2)83a2a20，当 a0 时，不满足0，23 A.x
3、0(0，)(，2)2g(x)0g(x)0当 a0 时，g(x)a(x a)(x a)令 g(x)0，得 x a或 x a(舍去)当 x0,2，0 a2 时，列表：aaa223 aa2823 aag(0)0，g(a)0，又0，23 A，g(2)83a2a223.解得13a1.【规律方法】(1)求 f(x)的值域可以利用导数，也可以利用 基本不等式求解 (2)任意 x10,2，总存在x20,2，使f(x1)g(x2)的本质 就是函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集)当 x0,2，a2 时，即 a4，g(x)0，函数在0,2上单调递减g(0)0，g(2)83a2a20，当 a4 时，不满足
4、0，23 A.综上所述，实数 a 的取值范围是13，1.1(2012年大纲)已知函数 f(x)x3x2ax.【互动探究】(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 f(x)有两个极值点 x1，x2，若过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线 l 与 x 轴的交点在曲线 yf(x)上，求 a 的值13解：(1)依题意可得 f(x)x22xa.当44a0，即 a1 时，x22xa0 恒成立 故 f(x)0(当且仅当 a1，x1 时等号成立)所以函数 f(x)在 R 上单调递增；当44a0，即 a1 时，f(x)x22xa0 有两个相异实根，x12 44a21 1a，x21 1a且 x1x2.
5、故由 f(x)0 x(，11a)或 x(11a，)，此时 f(x)单调递增；由 f(x)01 1ax1 1a，此时 f(x)单调递增递减综上可知，当 a1 时，f(x)在 R 上单调递增；当 a1 时，f(x)在(，1 1a)和(1 1a，)上单调递增，在(1 1a，1 1a)上单调递减(2)由题设知，x1，x2 为方程 f(x)0 的两个根，故有 a1，x212x1a，x222x2a.因此 f(x1)13x31x21ax113x1(2x1a)x21ax113x2123ax113(2x1a)23ax123(a1)x1a3.同理 f(x2)23(a1)x2a3，因此直线 l 的方程为 y23(a
6、1)xa3.设 l 与 x 轴的交点为(x0,0)，得 x0a2a1.而 f(x0)13a2a13a2a12a22a1a224a13(12a217a6)由题设知，点(x0,0)在曲线 yf(x)上，故 f(x0)0，解得 a0 或 a23或 a34.所以所求 a 的值为 a0 或 a23或 a34.题型 2 函数中的数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质它是数学的规律性与灵活性的有机结合纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研
7、究“以形助数”例 2：已知函数 f(x)x33ax1，a0.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围解：(1)f(x)3x23a3(x2a)，当 a0.此时，f(x)的单调递增区间为(，)；当 a0 时，由 f(x)0，解得 x a；由 f(x)0，解得 ax a，此时，f(x)的单调递增区间为(，a)，(a，)，单调递减区间为(a，a)(2)因为 f(x)在 x1 处取得极值，所以 f(1)3(1)23a0，即 a1.所以 f(x)x33x1，f(x)3x23.由 f(x)0，解得 x11，x2
8、1.由(1)中 f(x)的单调性知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.如图 1-1，若直线 ym 与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，则3m0)x(，2a)2a(2a,0)0(0，a)a(a，)f(x)000f(x)极小值极大值极小值解：(1)f(x)x3ax22a2xx(x2a)(xa)，令 f(x)0，得 x12a，x20，x3a.当 a0 时，f(x)在 f(x)0 根的左右的符号如下表：所以 f(x)的单调递增区间为(2a,0)和(a，)，f(x)的单调递减区间为(，2a)和(0，a)(2)由(1)，得 f(x)极小值f(2a)53a
9、41如图 D12(1)或 a41如图 D12(2)要使 f(x)的图象与直线 y1 恰有两个交点，只要 7 12图 D12即 a 4 127，或 0a1.图 1-2【规律方法】(1)继续探讨：函数 yf(x)的图象与直线 y1恰有三个交点，则 a 的取值范围为 a1如图 1-2(1)或 a4 127 如图 1-2(2)；函数 yf(x)的图象与直线 y1 恰有四个交点，则 a 的取值范围为 1a 4 127 如图 1-2(3)(2)请结合例2 一起学习，例2 中函数图象确定，直线 ym在动(变化)；而本题中直线 y1 确定，函数图象在动(变化)，数形结合中蕴含运动变化的思想题型 3 函数中的分
10、类讨论思想分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略纵观每年全国各地的高考试题，几乎所有的压轴题都与分类讨论有关例 3：已知函数 f(x)axlnx(a 为常数)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的最值；(2)求函数 f(x)在1，)上的最值；解：(1)当 a1 时，函数 f(x)xlnx，x(0，)，当 x(0,1)时，f(x)0，函数 f(x)在(0,1)上为减函数 当 x(1，)时，f(x)0，函数 f(x)在(1
11、，)上为增函数 当 x1 时，函数 f(x)有最小值，f(x)minf(1)1.(3)试证明对任意的 nN*都有 ln11nn1.f(x)1，令f(x)0，得x1.1x(2)f(x)a1x，若 a0，则对任意的 x1，)都有 f(x)0，函数 f(x)在1，)上为减函数函数 f(x)在1，)上有最大值，没有最小值，f(x)maxf(1)a；若 a0，令 f(x)0，得 x1a.当 0a1 时，1a1，当 x1，1a 时，f(x)0，函数 f(x)在1，1a 上为减函数当 x1a，时，f(x)0，函数 f(x)在1a，上为增函数当 x1a时，函数 f(x)有最小值，f(x)minf1a 1ln1
12、a；当 a1 时，1a1，在1，)恒有 f(x)0.函数 f(x)在1，)上为增函数此时函数 f(x)在1，)有最小值，f(x)minf(1)a.综上，得当 a0 时，函数 f(x)在1，)上有最大值，f(x)maxa；当 0a1 时，函数 f(x)有最小值，f(x)min1ln1a1lna.当 a1 时，函数 f(x)在1，)上有最小值，f(x)mina.(3)由(1)知，函数 f(x)xlnx 在(0，)上有最小值 1，即对任意的 x(0，)都有 xlnx1，即 x1lnx，当且仅当 x1 时“”成立nN*，n1n 0，且n1n 1.n1n1lnn1n1nlnn1n1nln 11n 1ln
13、11nn.对任意的 nN*都有 ln11nn1.(1)求函数 f(x)【互动探究】3(2014 年湖北)为圆周率，e2.71 828为自然对数的底数.lnxx 的单调区间；(2)求 e3，3e，e，e，3，3这 6 个数中的最大数与最小数x2解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)因为 f(x)lnxx，所以 f(x)1lnx.当 f(x)0，即 0 xe 时，函数 f(x)单调递增；当 f(x)0，即 xe 时，函数 f(x)单调递减 故函数 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为 (e，)(2)因为 e3，所以 eln3eln，lneln3，即 ln3elne，lneln3.，得 ln3ln3，所以33；，得 ln3elne3，所以3ee3.于是根据函数 ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，可得 3ee3，e3e3.故这 6 个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与e3之中 由 e3及(1)的结论，得 f()f(3)f(e)，即ln ln3 lne.3 e由ln ln33由ln3 lne3 e综上所述，这6 个数中的最大数是3，最小数是3e.