1、课时跟踪检测（十三） 最大值、最小值问题一、基本能力达标1函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)()A等于0B大于0C小于0D以上都有可能答案：A2函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3，则a的值为()A2 B1C2D1解析：选Bf(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1，又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，即a23，所以a1.3函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()A. BC1，eD(1，e)解析：选Af(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时
2、，f(x)0，f(x)在上是增函数f(x)的最大值为fe，f(x)的最小值为f(0).4.如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为()A. BC.d D.d解析：选C设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0，f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点xd.所以xd时，f(x)有最大
3、值，故选C.5设x0是函数f(x)(exex)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0)处的切线方程是_解析：f(x)(exex)，令f(x)0，x0，可知x00为最小值点切点为(0,1)，f(0)0为切线斜率，切线方程为y1.答案：y16若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m，n，则mn_.解析：f(x)3x23，当x1或x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：207已知k为实数
4、，f(x)(x24)(xk)(1)求导函数f(x)；(2)若x1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间2，2上的最大值和最小值解：(1)f(x)x3kx24x4k，f(x)3x22kx4.(2)由f(1)0，得k.f(x)x3x24x2，f(x)3x2x4.由f(x)0，得x1或x.又f(2)0，f(1)，f，f(2)0，f(x)在区间2,2上的最大值为，最小值为.8请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，是被切去的
5、一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时，即包装盒的高与底面边长的比值为
6、.二、综合能力提升1若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A10 B71C15D22解析：选Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0，得x3或x1.又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20.由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.2若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析：选A设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，则S2r1t2r124r1.S4. 令(r2rr)0得r1r.此时S4r4rr2r2.3已知当x时，函数f(x)txsin x(tR)
7、的值恒小于零，则t的取值范围是()A. BC. D.解析：选Af(x)txsin x0在x内恒成立，即t在内恒成立，令g(x)，则g(x).令(x)xcos xsin x，则(x)xsin x，当x时，(x)0，(x)在上单调递减，(x)xcos x，g(x)0.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解：(1)f(x).因为f(x)在x1处取得极值，故f(1)0，解得a1.(2)由(1)知，f(x)，因为x0，a0，故ax10,1x0.当a2时，在区间0，)上f(x)0恒成立，故f(x)在0，)上单调递增，则f(x)的最小值为f(0)1.当0a
8、0，解得x ；由f(x)0，解得x .则f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，.故f(x)在x处取得最小值，又ff(0)1，故与f(x)的最小值为1矛盾综上可知，a的取值范围是2，)6统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？(2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？解：(1)当x64千米/小时时，要行驶100千米需要小时，要耗油11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，22.5，a，设h(x)x2，则当h(x)最小时，a取最大值，h(x)x，令h(x)0x80，当x(0,80)时，h(x)0，故当x(0,80)时，函数h(x)为减函数，当x(80,120)时，函数h(x)为增函数，当x80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为a200.故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米
