1、学案41空间的垂直关系导学目标： 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题自主梳理1直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法定义法利用判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也_这个平面(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内_直线垂直于同一个平面的两条直线_垂直于同一直线的两个平面_2直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的_所成的锐角，叫
2、做这条直线与这个平面所成的角一条直线垂直于平面，说它们所成的角为_；直线l或l，说它们所成的角是_角3平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直(2)平面与平面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面4二面角的平面角以二面角的棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作_棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角自我检测1(2010浙江改编)设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是_(填序号)若lm，m，则l；若l，lm，则m；若l，m，则lm；若l，m，则lm.
3、2对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直线l，直线m，使得lm；存在异面直线l、m，使得l，l，m，m.其中，可以判定与平行的条件有_个3(2009四川卷改编)如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的序号是_PBAD；平面PAB平面PBC；直线BC平面PAE；直线PD与平面ABC所成的角为45.4如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)5(2011大纲全国，16)
4、已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_探究点一线面垂直的判定与性质例1RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC.求证：BD平面SAC.变式迁移1四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.已知ABC45，SASB.证明：SABC.探究点二面面垂直的判定与性质例2如图所示，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD内的射影是O.求证：平面O1
5、DC平面ABCD.变式迁移2(2011江苏)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP，AD的中点求证：(1)直线EF平面PCD；(2)平面BEF平面PAD.探究点三直线与平面、平面与平面所成的角例3(2009湖北)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD2a，ADa，点E是SD上的点，且DEa(02)(1)求证：对任意的(0,2，都有ACBE；(2)设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若tan tan 1，求的值变式迁移3(2009北京)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，
6、BCA90，点D、E分别在棱PB、PC上，且DEBC.(1)求证：BC 平面PAC.(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由转化与化归思想例(14分)已知四棱锥PABCD，底面ABCD是A60的菱形，又PD底面ABCD，点M、N分别是棱AD、PC的中点. (1)证明：DN平面PMB；(2)证明：平面PMB平面PAD.【答题模板】证明(1)取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC的中点，所以QNBCMD，且QNMD，故四边形QNDM是平行四边形，于是DNMQ.4分又MQ平面PMB，DN平面PMBDN平面
7、PMB.7分(2)PD平面ABCD，MB平面ABCD，PDMB.9分又因为底面ABCD是A60的菱形，且M为AD中点，所以MBAD.又ADPDD，所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB，平面PMB平面PAD.14分【突破思维障碍】1立体几何中平行与垂直的证明充分体现了转化与化归的思想，其转化关系如图2在解决线面、面面平行或垂直的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线”到“线面”，再到“面面”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”1证明线面垂直的方法：(1)定义：a与内任何直线都垂直a；(2)判定定理1：l；
8、(3)判定定理2：ab，ab；(4)面面平行的性质：，aa；(5)面面垂直的性质：，l，a，ala.2证明线线垂直的方法：(1)定义：两条直线的夹角为90；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质：a，bab；(4)线面垂直的性质：a，bab.3证明面面垂直的方法：(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a，a. (满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010扬州月考)已知直线a，b和平面，且a，b，那么是ab的_条件2已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若m，mn，n，则；
9、若m，n，则mn.其中正确命题是_(填序号)3设直线m与平面相交但不垂直，给出以下说法：在平面内有且只有一条直线与直线m垂直；过直线m有且只有一个平面与平面垂直；与直线m垂直的直线不可能与平面平行；与直线m平行的平面不可能与平面垂直其中错误的是_4(2009江苏)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB
10、BC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_6(2011福建)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积为_7如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是1，过A点作平面A1BD的垂线，垂足为点H，有下列三个命题：点H是A1BD的中心；AH垂直于平面CB1D1；AC1与B1C所成的角是90.其中正确命题的序号是_8正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_二、解答题(共42分)9(12分)(2011安徽)如图，ABEDFC为多面体，平面A
11、BED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA1，OD2，OAB，OAC，ODE，ODF都是正三角形(1)证明直线BCEF；(2)求棱锥FOBED的体积10(14分)(2009天津)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADCD，DB平分ADC，E为PC的中点，ADCD1，DB2.(1)证明PA平面BDE；(2)证明AC平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值11(16分) 如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知BD2AD8，AB2DC4.(1)设M是PC上的一点，证明平面MBD平面PAD.(2)求四棱锥PABCD的体积学
12、案41空间的垂直关系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角03.(1)一条垂线(2)交线4.垂直于自我检测12.23.4.DMPC(或BMPC等)5.解析方法一如图，建立空间直角坐标系设面ABC的法向量为n1(0,0,1)，面AEF的法向量为n2(x，y，z)设正方体的棱长为1，A(1,0,0)，E(1,1，)，F(0,1，)，(0,1，)，(1,0，)，则取x1，则y1，z3.故n2(1，1,3)，cosn1，n2，面AEF与面ABC所成的二面角的平面角满足cos ，sin ，tan .方法二如图，设正方体的棱长为3，则由题意知CF2，BE1，分别延长FE、CB交于点M，连
13、结AM，作BNAM于点N，连结EN.EB平面ABM，AM平面ABM，EBAM.又BNAM，EBBNB，AM平面BEN，AMEN.BNE即为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角BECF，即，MB3，AM3.由AMBNBMAB得BN.又EB平面ABM，EBBN，tanBNE.课堂活动区例1解题导引线面垂直的判定方法是：证明直线垂直平面内的两条相交直线即从“线线垂直”到“线面垂直”证明(1)取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB，SASB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDEE，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD
14、.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)若ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.又SDACD，BD平面SAC.变式迁移1证明作SOBC，垂足为O，连结AO，由侧面SBC底面ABCD，得SO底面ABCD.因为SASB，所以AOBO.又ABC45，故AOB为等腰直角三角形，且AOBO，又SOBC，SOAOO，BC面SAO.又SA面SAO，SABC.例2解题导引证明面面垂直，可先证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行证明如图所示，连结AC，BD，A1
15、C1，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，B1D1的交点由棱柱的性质知：A1O1OC，且A1O1OC，四边形A1OCO1为平行四边形，A1OO1C，又A1O平面ABCD，O1C平面ABCD，又O1C平面O1DC，平面O1DC平面ABCD.变式迁移2证明(1)如图，在PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EFPD.又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF平面PCD.(2)连结BD.因为ABAD，BAD60，所以ABD为正三角形因为F是AD的中点，所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF
16、，所以平面BEF平面PAD.例3解题导引高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)认(指)求(1)证明如图所示，连结BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，ACBE.(2)解如图所示，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD.又SDADD，CD平面SAD.过点D在平面SAD内作DFAE于F，连结CF，则CFAE，故CFD是二面角CAED的平面角，即CFD.在RtB
17、DE中，BD2a，DEa，tan .在RtADE中，ADaCD，DEa，AEa，从而DF.在RtCDF中，tan ，由tan tan 1，得1222.由(0,2，解得.变式迁移3(1)证明PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.又ACPAA，BC平面PAC.(2)解D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60，BCAB.在RtADE中，sinDAE.AD与平面PAC所成角的正弦值为.(3)解DEBC，又由(1
18、)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90，故存在点E使得二面角ADEP是直二面角课后练习区1充要2.3.4.5.6.解析PA底面ABC，PA为三棱锥PABC的高，且PA3.底面ABC为正三角形且边长为2，底面面积为22sin 60，VPABC3.78.9.(1)证明方法一(综合法)如图所示，设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点由于OAB与ODE都是正三角形，且OD2，所以OB綊DE，(3分)OGOD2.(5分)同理，设
19、G是线段DA延长线与线段FC延长线的交点，有OC綊DF，OGOD2.又由于G和G都在线段DA的延长线上，所以G与G重合(10分)在GED和GFD中，由OB綊DE和OC綊DF，可知B、C分别是GE和GF的中点，所以BC是GEF的中位线，故BCEF.(12分)方法二(向量法)过点F作FQAD，交AD于点Q，连结QE，由平面ABED平面ADFC，知FQ平面ABED，从而FQQE，FQDQ.以Q为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系(4分)由条件知E(，0,0)，F(0,0，)，B(，0)，C(0，)，则(，0，)，(，0，)所以2，即BCEF.(7分)(2
20、)由OB1，OE2，EOB60，知SOBE，而OED是边长为2的正三角形，故SOED.所以S四边形OBEDSOBESOED.(10分)过点F作FQAD，交AD于点Q，由平面ABED平面ACFD知，FQ就是四棱锥FOBED的高，且FQ，所以VFOBEDFQS四边形OBED.(12分)10(1)证明设ACBDH，连结EH.在ADC中，因为ADCD，且DB平分ADC，所以H为AC的中点，又由题设，知E为PC的中点，故EHPA.又EH平面BDE，且PA平面BDE，所以PA平面BDE.(4分)(2)证明因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.由(1)可得，DBAC.又PDDBD，故AC平面
21、PBD.(8分)(3)解由AC平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以CBH为直线BC与平面PBD所成的角由ADCD，ADCD1，DB2，可得DHCH，BH.在RtBHC中，tanCBH.所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为.(14分)11(1)证明在ABD中，由于AD4，BD8，AB4，所以AD2BD2AB2.故ADBD.(2分)又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD.又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD.(6分)(2)解过点P作POAD交AD于点O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因此PO为四棱锥PABCD的高又PAD是边长为4的等边三角形，因此PO42.(10分)在底面四边形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为S24.故VPABCD24216.(16分)
