1、江苏省南京市2022届高三数学下学期第三次模拟考试试题（5月）(满分：150分考试时间：120分钟)20225一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知R是实数集，集合AxZ|x|1，Bx|2x10，则A(RB)()A. 1，0 B. 0，1 C. 1，0，1 D. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足z(1i)43i，则|z|()A. B. C. D. 3. 为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目安排的方法数为()A. 9 B. 18 C. 24 D. 274. 函数f
2、(x)(x)cos x的部分图象大致是()5. 我们知道，任何一个正整数N可以表示成Na10n(1a10，nZ)，此时lg Nnlg a(0lg a0，0，00，则实数m的取值范围是()A. (1，) B. (，) C. (0，) D. (，1)二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 设Pa，aR，则下列说法正确的是()A. P2B. “a1”，是“P2”的充分不必要条件C. “P3”是“a2”的必要不充分条件D. a(3，)，使得P310. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y22a
3、x6ya20(aR)，则下列说法正确的是()A. 若a0，则点O在圆C外B. 圆C与x轴相切C. 若圆C截y轴所得弦长为4，则a1D. 点O到圆C上一点的最大距离和最小距离的乘积为a211. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则()A. 事件B与事件C互斥 B. P(A)C. 事件A与事件B独立 D. 记C的对立事件为，则P(B|)12. 在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE
4、为底面圆的直径，ABC是底面圆的内接正三角形，ABAD，则下列说法正确的是()A. BE平面PACB. PA平面PBCC. 在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为D. 记直线DO与过点P的平面所成的角为，当cos (0，)时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x2y10上任意一点，则向量与向量n(3，2)的数量积为_14. 写出一个同时具有下列性质的数列an的通项公式：an_ 数列an是无穷等比数列； 数列an不单调； 数列|an|单调递减15. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1与双曲线C2共焦点，双曲
5、线C2实轴的两顶点将椭圆C1的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线C2的离心率为_16. 19世纪，美国天文学家西蒙纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高约半个世纪后，物理学家本福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频率约为总数的三成，接近期望值的3倍，并提出本福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)logb，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性，根据本福特定律，在某项大量经济数据(十进制)中，以6开头的数出现的概率为_；若P
6、10(n)P10(1)，kN*，k9，则k的值为_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)在ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin Cc cos Ac.(1) 求角A的大小；(2) 若ab，求sinADC.18. (本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，a22.从下面中选取两个作为条件，剩下一个作为结论如果该命题为真，请给出证明；如果该命题为假，请说明理由 a33a1； 为等差数列； an2an2.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分19. (本小题满分12分)如图，在平行四边形ABC
7、D中，AB2，AD3，ABC30，AEBC，垂足为E.以AE为折痕把ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90(如图).(1) 求证：PECD；(2) 若点F在线段PC上，且二面角FADC的大小为30，求三棱锥FACD的体积20. (本小题满分12分)空气质量指数AQI与空气质量等级的对应关系如下：空气质量指数AQI空气质量等级0，50优(50，100良(100，150轻度污染(150，200中度污染(200，300重度污染(300，)严重污染下列频数分布表是某场馆记录了一个月(30天)的情况：空气质量指数AQI0，50(50，100(100，150(150，2
8、00频数/天36156(1) 利用上述频数分布表，估算该场馆日平均AQI的值；(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表)(2) 如果把频率视为概率，且每天空气质量之间相互独立，求未来一周(7天)中该场馆至少有两天空气质量等级达到“优或良”的概率；(参考数据：0.770.082 4，结果精确到0.01)(3) 为提升空气质量，该场馆安装了2套相互独立的大型空气净化系统已知每套净化系统一年需要更换滤芯数量情况如下：更换滤芯数量/个345概率0.20.30.5已知厂家每年年初有一次滤芯促销活动，促销期内每个滤芯售价1千元，促销期结束后每个滤芯恢复原价2千元该场馆每年年初先在促销期购买n(n8
9、，且nN*)个滤芯，如果不够用，则根据需要按原价购买补充问该场馆年初促销期购买多少个滤芯，使当年购买滤芯的总花费最合理，请说明理由(不考虑往年剩余滤芯和下一年需求)21. (本小题满分12分)已知函数f(x)(x2x1)ex3，g(x)xex，e为自然对数的底数(1) 求函数f(x)的单调区间；(2) 记函数g(x)在(0，)上的最小值为m，求证：eme.(10分)(证法1)由(*)式得(x01)ex0xex03，代入(*)式得mx0ex0.因为x0(1，2)，且函数yxex在(1，2)上单调递增，所以mx0ex0e.(12分)(证法2)因为x(ex1)0，所以xexx，所以(x1)ex1x1
10、，所以(x1)exe(x1)(当且仅当x1时取等号).所以g(x)(1)exe，所以mg(x)mine.综上，em3.(12分)22. 解：(1) (解法1)由yx2，得yx，所以A处切线的斜率为，(2分)所以切线PA的方程为y(x1)，即yx. 联立方程组解得x，y，即P(，)，(3分)所以AP|1|.(4分)(解法2)设切线PA的方程为yk(x1)，即ykxk.联立方程组消元y，得x24kx(4k1)0.由16k24(4k1)0，解得k，所以切线PA的方程为yx.(2分)联立方程组解得x，y，即P(，)，(3分)所以AP|1|.(4分)(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(t，t5)，则y1x，y2x.由yx2，得yx，所以A处的切线方程为yy1x1(xx1). 将P(t，t5)代入，得t5y1x1(tx1)，即x2tx14(t5)0.(6分)同理可得x2tx24(t5)0.所以x1，x2是方程x22tx4(t5)0的两个解，故x1x22t，x1x24(t5)，(7分)所以直线AB的斜率kt.由AB2AP，得|x1x2|2|x1t|，(9分)由得|x1x2|2|x1t|，所以，化简得xt2.因为x1t，所以x1t.(11分)由，得3t24t200，解得t12，t2.所以点P的坐标为(2，3)或(，).(12分)