1、第10讲导数的概念及运算组基础关1设f(x)ln (32x)cos2x，则f(0)()A B. C D.答案C解析因为f(x)(2)2sin2x2sin2x，所以f(0).2(2020宁夏中卫月考)函数yf(x)的图象在点P(5，f(5)处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A1 B2 C3 D4答案B解析由条件知f(5)1，又在点P处的切线方程为yf(5)(x5)，yx5f(5)，即yx8，5f(5)8，f(5)3，f(5)f(5)2.3一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A1秒末 B1秒末和2秒末C4秒末 D2秒末和4秒末答案D解
2、析速度vst26t8，由t26t80，解得t2或4，所以速度为零的时刻是2秒末和4秒末4已知函数f(x)的图象如图，f(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(2)f(3)f(2)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)答案C解析f(2)，f(3)表示曲线yf(x)在点A，B处切线的斜率，又f(3)f(2)表示直线AB的斜率所以0f(3)f(3)f(2)0且a1，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_答案3解析因为f(x)axln x，所以f(x)ln aaxln x.又f(1)3，所
3、以a3.10已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.答案0解析由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，f(3).g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，g(3)130.组能力关1已知函数f(x)x3sinx，其导函数为f(x)，则f(2020)f(2020)f(2020)f(2020)的值为()A4040 B4 C2 D0答案B解析函数f(x)x3sinxf(x)f(x)4，因为f(x)3x2cosx为偶函数，所以f(x)f(x
4、)0，所以f(2020)f(2020)f(2020)f(2020)4.2若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小距离为()A1 B. C. D.答案B解析设P(x0，y0)，当点P处的切线与直线yx2平行时，点P到直线yx2的距离最小又y2x，则yxx02x01，解得x01或x0(舍去)，则y01，即P(1,1)，所以最小距离为.3(2019华中师范大学第一附中模拟)已知函数f(x)g(x)kx1，f(x)的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y1的对称点在g(x)的图象上，则k的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析ykx1关于直线y1的对称直线为ymx1(mk)，
5、先考虑特殊位置：ymx1与yx2x(x0)相切，得0m(舍去正数)，ymx1与yxln x2x(x0)相切，由导数几何意义得x1，m1，结合图象可知1mk1，故选D.4设函数f(x)ax，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为7x4y120.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0和直线yx所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程7x4y120可化为yx3.当x2时，y.又f(x)a，于是解得故f(x)x.(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y1，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)令x0，得y，
6、从而得切线与直线x0的交点坐标为.令yx，得yx2x0，从而得切线与直线yx的交点坐标为(2x0,2x0)所以点P(x0，y0)处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为S|2x0|6.故曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x0，yx所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.5已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)在函数f(x)x2ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意可得f(1)1，且f(x)2x，f(1)211，则所求切线方程为y11(x1)，即yx.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2，不妨设x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得1，又函数f(x)2x在区间上单调递增，函数的值域为1,1，故12x12x21，据此有解得x1，x21，故存在两点，(1,1)满足题意