1、第6讲正弦定理和余弦定理组基础关1已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b等于()A2 B. C. D.答案D解析因为A(0，)，B(0，)，cosA，cosC.所以sinA，sinC，所以sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC.由正弦定理，得b.2在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C60，a4b，c，则b()A1 B2 C3 D.答案A解析由余弦定理，得c2a2b22abcosC.又因为c，a4b，C60，所以1316b2b224bbcos60，解得b1.3在ABC中，如果，那么ABC是()A直角三角形 B等边三角形
2、C等腰直角三角形 D钝角三角形答案B解析由正弦定理及，得，整理，得cosAcosBcosC，因为A，B，C为三角形的内角，所以ABC，所以ABC是等边三角形4(2019安徽省江南十校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2，c3，B2C，则cos2C的值为()A. B. C. D.答案B解析由正弦定理，得.又因为B2C，所以2cosC，故cosC，所以cos2C2cos2C121.5在ABC中，A60，b1，SABC，则()A. B. C. D2答案B解析依题意得，bcsinAc，则c4.由余弦定理得a，因此.由正弦定理得，故选B.6(2020许昌摸底)若ABC的三个内角A
3、，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(CA)sinB，且b4，则c2a2()A10 B8 C7 D4答案B解析因为ABC，所以sin(CA)sinBsin(AC)，即2sinCcosA2cosCsinAsinAcosCcosAsinC，即sinCcosA3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理，得c3a，化简得c2a28.故选B.7(2019泸州模拟)在ABC中，角B为，BC边上的高恰为BC边长的一半，则cosA()A. B. C. D.答案A解析设BC边上的高为h，则BC2h，ABh，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosB2h24h22h2h10h2，故ACh.所以cosA
4、.8(2019衡阳模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC外接圆的半径为3，则a_.答案3解析由题意，得，根据余弦定理，得cosA.所以sinA，又因为ABC外接圆的半径为3，所以根据正弦定理得6，所以a3.9(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_答案6解析由余弦定理，得b2a2c22accosB.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCacsinB426.10在ABC中，若AB4，AC7，BC边的中线AD，则BC_.答案9解析如图所示，延长AD到点E，使DEAD，连接BE，EC.因为A
5、D是BC边上的中线，所以AE与BC互相平分，所以四边形ACEB是平行四边形，所以BEAC7.又AB4，AE2AD7，所以在ABE中，由余弦定理得，AE249AB2BE22ABBEcosABEAB2AC22ABACcosABE.在ABC中，由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos(ABE)所以49BC22(AB2AC2)2(1649)，所以BC281，所以BC9.组能力关1(2019太原五中模拟)在ABC中，sin2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案A解析利用正弦定理及二倍角公式得，即sinAs
6、inCcosB.又sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，所以sinBcosC0.在ABC中，sinB0，故cosC0，则C，故ABC为直角三角形，故选A.2(2019江西省九江市一模)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cos2Acos2Bsin2CsinBsinC，且ABC的面积为，则a的值为_答案2解析ABC中，由cos2Acos2Bsin2CsinBsinC，得1sin2A(1sin2B)sin2Csin2Bsin2Csin2AsinBsinC，b2c2a2bc，由余弦定理，得cosA，又A(0，)，A.由正弦定理，即，化简得a23bc.又ABC的面积为
7、SABCbcsinA，bc4，a212，解得a2.3(2020海淀模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinBbcos2A2a，则角A的取值范围是_答案解析由已知及正弦定理得sin2AsinBsinBcos2A2sinA，即sinB(sin2Acos2A)2sinA，sinB2sinA，b2a，由余弦定理得cosA，当且仅当ca时取等号，A为三角形的内角，且ycosx在(0，)上是减函数，0A，则角A的取值范围是.4(2020揭阳摸底)在ABC中，AD是BC边上的中线，ABD.若ABBD，则CAD_；若AC2AD2，则ABC的面积为_答案解析设BDm，则ABm，
8、BC2m，根据余弦定理，AD2AB2BD22ABBDcosABDm2，AC2AB2BC22ABBCcosABDm2，ADDCACm，即ACD是正三角形，CAD.记ABC的三内角BAC，ABC，ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BDa，由余弦定理可得，AD2AB2BD22ABBDcosABD，1c22ac，即44c2a22ac，又AC2AB2BC22ABBCcosABC，4c2a2ac，于是，4c2a22acc2a2ac，ac，代入c2a2ac4可得c2，a2，SABCacsinABC.5(2020福州期末)已知菱形ABCD的边长为2，DAB60.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1
9、)若CDE的面积为，求DE的长；(2)若CF4DF，求sinDFC.解(1)依题意，得BCDDAB60.因为CDE的面积SCDCEsinBCD，所以2CE，解得CE1.在CDE中，由余弦定理，得DE .(2)解法一：依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则060.在CDF中，由正弦定理，得，因为CF4DF，所以sin，所以cos，所以sinDFCsin(30).解法二：依题意，得ACD30，BDC60，设CDE，则060，设CF4x，因为CF4DF，则DFx，在CDF中，由余弦定理，得DF2CD2CF22CDCFcosACD，即7x2416x28x，解得x或x.又因为CFAC，所以x，所以x，所以DF，在CDF中，由正弦定理，得，所以sinDFC.6(2019郑州模拟)在ABC中，AB2，AC，AD为ABC的内角平分线，AD2.(1)求的值；(2)求角A的大小解(1)在ABD中，由正弦定理，得，在ACD中，由正弦定理，得.因为sinADBsinADC，AC，AB2，故2.(2)在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcos168cos，在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos74cos，又4，解得cos.又，故，A.