1、习题课（二） 导数及其应用1.已知函数f(x)的导函数f(x)a(xb)2c的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是()解析：选D由导函数图象可知，当x0时，函数f(x)递减，排除A、B；当0x0，函数f(x)递增因此，当x0时，f(x)取得极小值，故选D.2已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()A. BC. D.解析：选A由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c0，解得c.3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，)D(，3)解析：选B因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处
2、有极值，又f(x)6x22ax36，所以f(2)0，解得a15.令f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，)4已知f(x)3x2ln x，则 ()A7 BC21D21解析：选Cf(x)6x， 3 3f(1)21，选C.5函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1De解析：选C函数yln xx的定义域为(0，)，又y1，令y0得x1，当x(0,1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e)时，y0，函数单调递减当x1时，函数取得最大值1，故选C.6已知函数f(x)x32x22x，若存在满足0x03的实数x0，使得曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与直线xm
3、y100垂直，则实数m的取值范围是()A6，) B(，2C2,6D5,6解析：选Cf(x)x24x2(x2)26，因为x00,3，所以f(x0)2,6，又因为切线与直线xmy100垂直，所以切线的斜率为m，所以m的取值范围是2,67(2019天津高考)曲线ycos x在点(0,1)处的切线方程为_解析：ysin x，将x0代入，可得切线斜率为.所以切线方程为y1x，即yx1.答案：yx18内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为_解析：设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hh(2Rhh2)Rh2h3，VRhh2.令V0得hR. 当0h0；当h2R时，V0；当
4、x(ln 2,2)时，f(x)1 7501 0000，当x50，即年产量为50 000吨时，利润最大，最大利润为(1 000ln 50250)万元12已知函数f(x)ax3bx2cx的导函数为h(x)，f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线方程为3xy40，且h0，又直线yx是函数g(x)kxex的图象的一条切线(1)求函数f(x)的解析式及k的值；(2)若f(x)g(x)m1对于任意x0，)恒成立，求m的取值范围解：(1)由f(x)ax3bx2cx，可知h(x)f(x)3ax22bxc.由f(x)在(2，f(2)处的切线方程为3xy40可知，f(2)8a4b2c2，f(2)12a4bc3，
5、又由h(x)6ax2b可知，h4a2b0，由，解得a，b1，c1，即f(x)的解析式为f(x)x3x2x.由题意，g(x)kxex与yx相切可知函数在原点或(ln k，ln k)处切线斜率为1.因为g(x)k(exxex)，所以g(0)k1或g(ln k)1，得k1.综上可得k的值为1.(2)若f(x)g(x)m1对任意x0，)恒成立，即x3x2xxexm1恒成立，则m1xexx3x2x恒成立设t(x)xexx3x2xx，令p(x)exx2x1，p(x)exx1，再令(x)exx1，(x)ex10，解得x0.所以当x0，)时，(x)0，所以(x)在0，)上单调递增，所以(x)(0)0，即p(x)0，所以p(x)在0，)上单调递增，所以p(x)p(0)0，所以当x0，)时，t(x)0恒成立，且t(0)0，因此只需m10即可，则m1.所以m的取值范围为(，1
