1、高考资源网（） 您身边的高考专家阶段质量检测（三） 圆锥曲线与方程(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0) D(4,0)解析：选B抛物线焦点位于x轴负半轴上，为(2,0)2椭圆1的离心率是()A.B.C. D.解析：选B根据题意知，a3，b2，则c，椭圆的离心率e.3以椭圆1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或1D以上都不对解析：选C当顶点为(4,0)时， 对于双曲线，a4，c8，b4，则双曲线的标
2、准方程为1；当顶点为(0，3)时，对于双曲线，a3，c6，b3，则双曲线的标准方程为1.4已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx解析：选Ce21，则C的渐近线方程为yx.5已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为()A. B1C2 D4解析：选C由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x.34，p2.6已知|3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为坐标原点，则动点P的轨迹方程是()A.y21 Bx21C.y21 Dx21解析：选A设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)(
3、0，y0)(x0,0)，即xx0，yy0，所以x0x，y03y.因为|3，所以xy9，即2(3y)29，化简整理得动点P的轨迹方程是y21.7已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B.C. D.解析：选C由题意知，点M的轨迹为以焦距为直径的圆，则cb，c2b2.又b2a2c2，e2b0)由已知，得A(a,0)，B(0，b)，F(c,0)，则(c，b)， (a，b)离心率e，ca，ba，b2ac0，ABF90.9(2019全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()A.
4、B.C2 D3解析：选A法一：双曲线1的右焦点F(，0)，一条渐近线的方程为yx，不妨设点P在第一象限，由于|PO|PF|，得点P的横坐标为，纵坐标为，即PFO的底边长为，高为，所以它的面积为.法二：不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.10已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D因为椭圆的离心率为，所以e，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.双曲线的渐近线方程为yx，代入
5、椭圆方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，yb，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4bbb216，所以b25，所以椭圆方程为1.11(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B.C2 D.解析：选A设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2，得22a2，故
6、，即e.12(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21 B.1C.1 D.1解析：选B法一：设椭圆的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点如图，不妨设A(0，b)，由F2(1,0)， 2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.法二：由题意设椭圆C
7、的方程为1(ab0)，连接F1A，令|F2B|m，则|AF2|2m，|BF1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点令OAF2(O为坐标原点)，则sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以122，解得a23.又c21，所以b2a2c22，椭圆C的方程为1.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)13若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线1的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_解析：由题意可知，双曲线1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(，0)，设椭圆C的方程是1(ab0)，则a3，c
8、，b2，所以椭圆C的方程为1.答案：114已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线xy2的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为_解析：抛物线xy2的方程化为标准形式为y24x，焦点坐标为(1,0)，则得a2b21，又e，易求得a2，b2，所以该双曲线的方程为5x2y21.答案：5x2y2115抛物线y24x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当FPM为等边三角形时，其面积为_解析：据题意知，FPM为等边三角形，|PF|PM|FM|，PM抛物线的准线设P，则M(1，m)，等边三角形边长为1，又由F(1,0)，|PM|FM|，得1，得m2，等边三角形的边长为4
9、，其面积为4.答案：416以下是关于圆锥曲线的命题：设A，B为两个定点，k为非零常数，|k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线1与椭圆y21有相同的焦点其中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)解析：对于，其中的常数k与A，B间的距离大小关系不定，所以动点P的轨迹未必是双曲线；对于，动点P为AB的中点，其轨迹为以AC为直径的圆；对于，显然成立答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知点A
10、(0,4)，B(0，2)，动点P(x，y)满足y280.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线yx2交于C ，D两点，求证：OCOD(O为原点)解：(1)由题意可知，(x,4y)，(x，2y)，x2(4y)(2y)y280，x22y为所求动点P的轨迹方程(2)证明：设C(x1，y1)，D(x2，y2)由整理得x22x40，x1x22，x1x24，kOCkOD1，OCOD.18(本小题满分12分)已知直线yx与椭圆在第一象限内交于M点，又MF2x轴，F2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F1，若2，求椭圆的标准方程解：由已知设椭圆的标准方程为1(ab0)，F1(c,0)，F2(c，0
11、)，则M点的横坐标为c.M点的坐标为.，.c2.由已知得c22，c2.又在RtMF1F2中，|F1F2|4，|MF2|，|MF1|3.2a|MF1|MF2|4.a2.b24.所求椭圆的标准方程为1.19(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l：yxm，(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由消去y，并整理得9x26mx2m2180.36m236(2m218)36(m218)直线l与椭圆有公共点，0，据此可解得3 m3 .故所求实数m的取值范围为3 ，3 (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得：x1x2
12、，x1x2，故|AB| ，当m0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.20(本小题满分12分)已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率解：(1)由C1：x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2b21.又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x24y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以1.联立，得a29，b28.故C2的方程为1.(2)如图，设
13、A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)因与同向，且|AC|BD|，所以，从而x3x1x4x2，即x1x2x3x4，于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4.设直线l的斜率为k，则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1，x2是这个方程的两根，所以x1x24k，x1x24.由得(98k2)x216kx640.而x3，x4是这个方程的两根，所以x3x4，x3x4.将代入，得16(k21)，即16(k21)，所以(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为. 21(本小题满分12分)(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两
14、条切线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积解：(1)证明：设D，A(x1，y1)，则x2y1.因为yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点.(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，|AB|x1x2|2(t21)设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1 ，d2.因此，四边形ADBE的
15、面积S|AB|(d1d2)(t23) .设M为线段AB的中点，则M.因为，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0，解得t0或t1.当t0时，S3；当t1时，S4.所以四边形ADBE的面积为3或4.22(本小题满分12分)(2019全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的离心率e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)- 12 - 版权所有高考资源网