1、高考资源网（） 您身边的高考专家23直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系直线AxByC0和圆(xa)2(yb)2r2的位置关系和判断方法位置关系相离相切相交公共点个数零个一个两个判断方法几何法：依据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系drdrdr代数法：联立方程组解的情况无实数解唯一实数解两个不同的实数解由方程组消元得到的一元二次方程根的判别式000图示1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)直线与圆最多有两个公共点()(2)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心()(3)若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离()(4)若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相
2、交()答案：(1)(2)(3)(4)2直线x3y10与圆x2y2的位置关系是()A相离B相切C相交且过圆心 D相交但不过圆心解析：选D.圆心(0，0)到直线x3y10的距离d，故直线与圆相交，但不过圆心3当直线xya0与圆x2(y1)22相离时，a的取值范围是_答案：a34直线x2y50与圆x2y28相交于A，B两点，则|AB|_解析：d，所以|AB|222.答案：2圆的切线方程(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程是x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程是(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2DxEyF0(D
3、2E24F0)上一点P(x0，y0)的切线方程是x0xy0yDEF0.(4)已知圆x2y2r2的切线斜率为k，则圆的切线方程为ykxr.注意圆的切线方程的求解思路有两个：一个是几何法；另一个是代数法直线与圆位置关系的判定已知直线方程为mxym10，圆的方程为x2y24x2y10.当m为何值时，直线与圆：(1)有两个公共点？(2)只有一个公共点？(3)没有公共点？解法一：将mxym10代入圆的方程，化简整理得(1m2)x22(m22m2)xm24m40，4m(3m4)，(1)当0，即m0或m时，直线与圆相交，故直线与圆有两个公共点；(2)当0，即m0或m时，直线与圆相切，故直线与圆只有一个公共点
4、；(3)当0，即m0时，直线与圆相离，故直线与圆没有公共点法二：已知圆的方程可化为(x2)2(y1)24，则圆心为(2，1)，半径长r2.圆心(2，1)到直线mxym10的距离d .(1)当d0或m2，即m1，故点M在圆外当切线斜率存在时，设切线方程是y4k(x2)，即kxy42k0，由于直线与圆相切，故 1，解得k，所以切线方程为24x7y200.又当切线斜率不存在时，直线x2与圆相切综上所述，所求切线方程为24x7y200或x2.在本例中，若所给点M的坐标是(1，4)，圆的方程不变，求切线方程解：由于(11)2(43)21，故点(1，4)在圆上，又圆心为(1，3)，所以切线斜率为0，所以切
5、线方程为y4，即y40.求圆的切线方程的三种方法(1)几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方程需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程 (2)代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程(3)设切点坐标：利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程2.(1)已知过点P(2，2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()AB1C2 D(2)已知圆O：x2y25和点A(1，2)，则过A
6、且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：(1)由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线axy10垂直，可设圆的切线方程为xayc0，由切线xayc0过点P(2，2)，所以c22a，所以，解得a2.(2)点A在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为，故切线方程为y2(x1)令x0得y；令y0得x5.故三角形的面积为5.答案：(1)C(2)与圆的弦长有关的问题设圆上的点A(2，3)关于直线x2y0的对称点仍在这个圆上，且与直线xy10相交的弦长为2，求此圆的方程解因为圆上的点A(2，3)关于直线x2y0的对称点仍在这个圆上，所以直线x2y0过圆心，所以设圆心坐标为(2b，b)
7、，圆的半径为r，则圆的方程为(x2b)2(yb)2r2，所以(22b)2(3b)2r2，圆心到直线xy10的距离为d，所以()2r2.由解得b3，r252或b7，r2244，所以圆的方程为(x6)2(y3)252或(x14)2(y7)2244.直线与圆相交时弦长的两种求法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有d2r2，则|AB|2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB| |x1x2| |y1y2|(直线l的斜率k存在)3.(1)在平面直角坐标系xOy
8、中，直线3x4y50与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长等于()A3B2C. D1(2)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_解析：(1)圆心(0，0)到直线3x4y50的距离d1，则|AB|222.(2)圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.答案：(1)B(2)规范解答直线与圆的综合问题 (本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解(1)设P(x，y)，半径为r，由题意知y22r2，x23r
9、2.即y22x23，故P点轨迹方程为y2x21.(4分)(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P点在曲线y2x21上，从而得(6分)得此时圆的半径r；(8分)得此时，圆的半径r.(10分)故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.(12分)正确列出点P满足的关系式是求轨迹方程的关键点，也是失分点对绝对值的关系式要进行讨论，解题要全面在解答此类问题时，首先要认真分析题设条件，找出条件与结论之间的关系，选取合理的解题思路对题目中出现的参数，含绝对值的问题时，一定要注意进行分类讨论1若直线xy4与圆x2y2r2(r0)相切，则实数r的值等于()A.B1C. D2解析：选D.由题意知圆心到直线
10、的距离等于半径，得r，所以r2，选D.2直线ykx被圆x2y22截得的弦长等于()A4 B2C2 D解析：选C.如图易知，直线ykx过圆x2y22的圆心，则弦长|AB|即为该圆的直径，则弦长|AB|2.故选C.3若直线2xay30与圆x2y22x40相切，则实数a等于_解析：圆的方程可化为(x1)2y25，因此圆心坐标为(1，0)，半径r，依题意得，解得a1.答案：14已知圆C与y轴相切，圆心C在直线l1：x3y0上，且圆C在直线l2：xy0上截得的弦长为2，求圆C的方程解：因为圆心C在直线l1：x3y0上，所以可设圆心坐标为(3t，t)又圆C与y轴相切，所以圆的半径为r|3t|.再由弦心距、
11、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得()2|3t|2，解得t1.所以圆心坐标为(3，1)或(3，1)，半径为3.故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.,学生用书P131(单独成册)A基础达标1直线x2y10与圆2x22y24x2y10的位置关系是()A相离B相切C相交但直线不过圆心 D相交且直线过圆心解析：选C.圆心坐标为，半径长r，圆心到直线的距离d4，所以点P在圆x2y24外，因此过点P与圆相切的直线有两条3如果直线xmy20与圆x2(y1)21有两个不同的交点，则()Am BmCm Dm解析：选B.由已知得直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d1，即|m2|.4已
12、知圆C：(xa)2(y2)24(a0)及直线l：xy30，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于()A. B2C.1 D1解析：选C.圆心C(a，2)到直线l的距离d，所以4，解得a1(舍去)，或a1.故选C.5已知点A(2，0)，B(0，2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最大值是()A6 B8C3 D3解析：选D.直线AB的方程是1，即xy20，|AB|2，则当ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值，又圆心M(1，0)，半径r1，点M到直线xy20的距离是.由圆的几何性质得d的最大值是1，所以ABC面积的最大值是23.6若点P(1，3)为圆C：
13、(x2)2y216的弦AB的中点，则直线AB的方程为_解析：kPC1，由题意知ABPC，所以kAB1，因此直线AB的方程为y3(x1)，即xy40.答案：xy407直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_解析：依题意，不妨设直线yxa与单位圆相交于A，B两点，则AOB90.如图所示，此时a1，b1，满足题意，所以a2b22.答案：28直线过点P(0，2)，且被圆x2y24截得的弦长为2，则直线的斜率为_解析：如图所示，点P(0，2)是圆与y轴的一个交点，过点P作弦，使弦长为2，亦即圆心到弦所在的直线的距离为.易知弦所在直线的斜率存在，设为k，则方程
14、为：ykx2.由点到直线的距离公式，可得：d，所以1k2.所以k2.所以k.答案：9m为何值时，直线2xym0与圆x2y25，(1)无公共点；(2)截得的弦长为2.解：(1)由已知，圆心为O(0，0)，半径r，圆心到直线2xym0的距离d，因为直线与圆无公共点，所以dr，即，所以m5或m5或m0，即b24b140，解得23b23.由根与系数的关系得x1x2(4b)，x1x2，y1y2b2b(x1x2)x1x24b，因为OPOQ，所以kOPkOQ1.所以x1x2y1y20，即b26b14b0，解得b1(23，23)，所以直线PQ的方程是yx1.14(选做题)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点
15、，点A(0，3)，设圆C的半径为1，圆心C(a，b)在直线l：y2x4上(1)若圆心C也在直线yx5上，求圆C的方程；(2)在上述的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(3)若圆C上存在点M，使|MA|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围解：(1)由得圆心C(3，2)，因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为(x3)2(y2)21.(2)由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为ykx3，即kxy30，由1得k0或k，所以所求圆C的切线方程为y3或yx3，即y3或3x4y120.(3)设M(x，y)，由|MA|MO|得.整理得y，故点M在直线m：y上所以点M既在圆C上又在直线m上，即圆C和直线m有公共点，所以1，所以a.综上所述，a的取值范围为.高考资源网版权所有，侵权必究！