1、习题课（二） 空间向量与立体几何1若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则()ABC，相交但不垂直 D以上均不正确解析：选Av3u，.2已知直线l过定点A(2,3,1)，且n(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为()A. B.C. D.解析：选A(2,0，1)，|，则点P到直线l的距离为 .3已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则的值为()A1 B0C1 D2解析：选C由于()()，而，则()()2(22)1.4.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面ABC是等
2、腰直角三角形，ACB90，侧棱AA12，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为()A. B.C. D.解析：选A以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示设CACBa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E，G，(0，a,1)点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，平面ABD，0，解得a2.，(2，2,2)，平面ABD，为平面ABD的一个法向量又cos，A1B与平面ABD所成角的正弦值为.5已知空间三点A(1,0
3、,3)，B(1,1,4)，C(2，1,3)若，且|，则点P的坐标为()A(4，2,2)B(2,2,4)C(4，2,2)或(2,2,4)D(4,2，2)或(2，2,4)解析：选C，可设.易知(3，2，1)，则(3，2，)又|，解得1，(3，2，1)或(3,2,1)设点P的坐标为(x，y，z)，则(x1，y，z3)，或解得或故点P的坐标为(4，2,2)或(2,2,4)6.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O间的距离为()A. B.C. D.解析：选B如图，连接
4、OO1，根据题意，OO1底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系AO1OC1，OBO1B1，AO1O1B1O1，OC1OBO，平面AB1O1平面BC1O.平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为O1到平面BC1O的距离O(0，0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，(，0,0)，(0,1,2)，(0,0,2)，设n(x，y，z)为平面BC1O的法向量，则n0，x0.又n0，y2z0，可取n(0,2，1)点O1到平面BC1O的距离记为d，则d.平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.7.如图，在空间直角坐标系中有直三棱
5、柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_解析：不妨设CB1，则B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)(0,2，1)，(2,2,1)cos，.答案：8已知空间三点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,1)，在直线OA上有一点H满足BHOA，则点H的坐标为_解析：由(1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(，0)，则(，1，1)又BHOA，0，即(，1，1)(1,1,0)0，即10，解得，H.答案：9.如图，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_解
6、析：如图，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，a,0)设Q(1，t,0)(0ta)P(0,0，z)则(1，t，z)， (1，at,0)由PQQD，得1t(at)0，即t2at10.由题意知方程t2at10只一解a240，a2，这时t10，a答案：210.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点(1)设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小；(2)当AB3，AD2时，求二面角EAGC的大小解：(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120，
7、所以CBP30.(2)以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，3)，C(1，0)，故(2,0，3)，(1，0)，(2,0,3)，设m(x1，y1，z1)是平面AEG的一个法向量由可得取z12，可得平面AEG的一个法向量m(3，2)设n(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量由可得取z22，可得平面ACG的一个法向量n(3，2)所以cosm，n.由图知二面角EAGC为锐角，故所求二面角EAGC的大小为60.11四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分
8、别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解：(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，知BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，(0,0,1)，(2,2,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1,1,0)，sin |cos，n|.法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中点，得E，F(1,0,0)，G(0,1,0)，(1,1,0)，(2,0,1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1,1,0)sin |cos，n|.
