1、3.2 立体几何中的向量法(1)第三章 空间向量与立体几何 空间向量与平行、垂直的关系 本节课主要学习由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面等的平行、垂直关系 通过复习空间向量的共线、共面定理进行新课导入。学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论，强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法 例1与例2是关于平面的法向量问题；例3是证明两个平面平行问题；例4是证明两条直线平行问题；例5是证明直线与平面的平行问题，运用了一题多解，培养学生的思维的广阔性。因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直
2、线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系 平面向量 空间向量 推广到 向量 渐渐成为重要工具 从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.引入1、立体几何问题(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)引入2、思考 1.如何确定一个点在空间的位置？2.在空间中给一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？3.给一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？4.给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？如图,l 为经过已知点 A 且平行于非零向量a 的直线,那么非零向量a 叫做直线 l 的方向向量。lAPa
3、直线的方向向量 直线的向量式方程 换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量 APta方向向量与法向量2、平面的法向量AalP平面 的向量式方程 0a AP 换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 的法向量 oyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)典例展示例 2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面 ABC 的一个法向量.解:设平面 ABC 的一个法向量为(,)n
4、x y z 则 nAB nAC，.(3,4,0)AB ,(3,0,2)AC (,)(3,4,0)0(,)(3,0,2)0 x y zx y z 即340320 xyxz 3432yxzx 取4x,则(4,3,6)n (4,3,6)n 是平面 ABC 的一个法向量.总结:如何求平面的法向量设平面的法向量为(,)nx y z 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,),(,)aa b cba b c 根据法向量的定义建立关于,x y z 的方程组00n an b 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.变式1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD
5、，PD=DC=1,E是PC的中点，求平面EDB的一个法向量.ABCDP E 解：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2PE依题意得DB(1,1，0)1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，0)XYZ设平面EDB的法向量为(,1)nx y,nnDEDB则1101,1,1220ynxy 于是因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.用向量方法解决立体问题设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则(1)/lm/abab；m
6、lab（一）平行关系：证明平行与垂直 a设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则 uaAC axAByAD(2)/l au0a u；设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则(3)/uv.uvuvu(1)lm0aba b（二）、垂直关系 设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则 lmab设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则(2)l /auaulauABC设直线 l,m 的方向向量分别为,a b，平面,的法向量分别为,u v，则 3（）0uvu vuv已知 直
7、线l与m相交,lm,lm.求证 l,m,a,.bv 取的方向向量取,的法向u明量证,lm,av bv,b又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是、的一个法向量 .例3.用向量方法证明定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行vubalm例4 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA/平面EDB.ABCDP E XYZG解1 立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 在中，E，G分别为PC，AC的中点PAC/PAEGPA 又平面EDB，EG平面EDB/PAEDB平面ABCDP E XYZG解
8、2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG(1,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2APE依题意得G 1 1(,，0)2 211(1,0,1),(,0,)22PAEGEGPAEGPA/2，即所以,EGEDBPAEDB而平面且平面EDBPA 平面所以，/ABCDP E XYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：1 1(1,0,0),(0,0,1),(0,),2 2APE依题意得B(1,1，0)(1,0,1),PA PAEDB而平面EDBPA 平面所以，/1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，0
9、)设平面EDB的法向量为(,1)nx y,nnDEDB则1101,1,1220ynxy 于是0PA nPAnA1xD1B1ADBCC1yzEF 是BB1,，CD中点，求证：D1F1111DCBAABCD 例5 正方体 中，E、F分别 平面ADE.证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，1,DADCDD以，1(1,0,0)(1,1,)2DADE，11(0,1)2D F 00DADE则，所以1D FADE 平面DADE则，,E是AA1中点，1111DCBAABCD 例6 正方体 平面C1BD.证明：E求证：平面EBD设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系平面C1BD的
10、一个法向量是E(0,0,1)D(0,2,0)B(2,0,0)(2,0,1)EB(0,2,1)ED 设平面EBD的一个法向量是(,1)ux y0u EBu ED由1 1(,1)2 2u 得1(1,1,1)vCA 0,u v平面C1BD.平面EBDoxyzABCO1A1B1C11.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_.(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_.(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_.(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)2(2013丹东高二检测)已知平面 内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为 n(3,1,2)，则下列点 P 中，在平面 内的
11、是()A(1，1,1)B.1，3，32 C.1，3，32 D.1，3，32 B 3若直线l的方向向量为a(1,0，2)，平面 的法向量为u 4,0,8，则 ()A.l B.l C.l D.l与 斜交B 1如何认识直线的方向向量？空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定在直线l上取点A和 ，可以作为l的方向向量，借助点A和 即可确定直线l的位置，并能具体表示出直线l上的任意一点 a aa2如何理解平面的法向量？(1)平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行 3平行与向量方法（1）直线与直线平行balm/lmab（2）直线与平面平行ula/0laua u（3）直线与平面平行vu/uv 课后练习课后习题