八年级数学下册 知识点复习专题讲练 解析平方根和立方根（含解析）.doc

1、解析平方根和立方根1. 算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。即：如果（x0），则。a的算术平方根记为，读作“根号a或二次根号a”，a叫做被开方数，2叫根指数，可以省略，简写为。规定：0的算术平方根是0。（2）性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 注意：的双重非负性，即（3）被开方数与算术平方根的关系当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，如：5，50。2. 平方根（1）平方根的定义：如果一个数x的平方等于a，

2、那么这个数x就叫做a的平方根。即：如果，那么x叫做a的平方根，表示为，其中a叫做被开方数。（2）性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。（3）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。注意： 开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义； 乘方与开方互为逆运算。3. 立方根（1）定义：如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即：如果，那么叫做的立方根，记作，读作：“三次根号”。其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。（2）性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。注意：任何数都有唯一的立方根。公式：

3、；。注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。（3）被开方数与立方根的关系当被开方数扩大时，它的立方根也扩大；当被开方数缩小时，它的立方根也缩小。一般来说，被开方数扩大（或缩小）a倍，立方根扩大（或缩小）倍，如：，。例题1 已知：是a8的算术平方根，是b3的立方根，求MN的平方根。解析：由算术平方根及立方根的意义可知，ab22，2ab43，联立解方程组，得：a1，b3；代入已知条件得：，所以，故MN的平方根是。答案：根据题意得：，解得：a1，b3，把a1，b3代入M，N得，所以MN的平方根是。点拨：正确理解算术平方根和立方根的意义是解决本题的关键。例题2 已知，求xy的算术平方根与立方根

4、。解析：根据算术平方根和立方根的定义，可知x2y9，4x3y8，联立解方程组，得：x1，y4，即可求得xy的算术平方根与立方根。答案：根据题意得解得：x1，y4，点拨：本题主要考查学生对算术平方根和立方根的应用，正确理解算术平方根和立方根的定义是关键。例题3 若一个正数a的两个平方根分别为x1和x3，求的值。解析：根据一个正数a的两个平方根分别为x1和x3，可得出x1和x3互为相反数，可求出x，即可得到a的值，然后代入即可得出的值。答案：根据题意得x1x30，解得x2，则x11，x31，所以a1，即点拨：本题考查了平方根的定义，知道一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。都具有非负性，这个性质

5、是我们解题的一个重要工具，巧妙的运用这个非负性，往往能起到至关重要的作用。例题 已知，则求mn的值。解析：根据确定m的范围，从而去绝对值符号，整理后，根据算术平方根和平方的非负性求出的值。答案：，且，即，解得，。点拨：此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，根据题意得出n，m的值是解决问题的关键。（答题时间：30分钟）1.的平方根是（ ）A. 3 B. C. D. 2. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 33. 下列各式中，正确的是（ ）A. B. C. D.*4. 若0，则_。*5. 一个正数的两个平方根分别是2a2和a4，则a的值是_。6. 已知（2a1）的平方根是，（3ab1）

6、的平方根是，求a2b的平方根。*7. 若2m4与3m1是同一个数的两个平方根，求m的值。*8. 已知实数x、y满足，则xy的值为（ ）A. 2 B. 2 C. 4 D. 4*9. 已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（ ）A. m6 B. m6 D. m6*10. 若与互为相反数，则xy的值为（ ）A. 3 B. 9 C. 12 D. 27*11. 设a、b、c都是实数，且满足，求代数式的值。*12. 已知实数x，y满足，求代数式的值。1. D 解析：因为，所以就是求3的平方根，为。2. D 解析：一个数的立方根只有一个，。3. B 解析：A.，故错误；B. ，故正确；C. ，

7、故错误；D. 3，故错误。4. 1 解析：，解得a1，。5. 2 解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以可知（2a2）（a4）0，解得：a2。6. 解：2a1的平方根为，3ab1的平方根为，2a19，3ab116，解得：a5，b2，a2b549，a2b的平方根为7. 解：由题意得：2m4（3m1），解得m18. A 解析：，x10，y30，解得：x1，y3，即xy2。9. A 解析：，x20，3xym0，x2，y6m，又y是负数，6m6。10. D 解析：与互为相反数，0又，得，解得：x15，y12，即xy2711. 解：，2a0，c80，a2，b4，c8，12. 解：，x50，y40，解得：x5，y41