1、2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设全集U=R，集合A=x|0x2，B=x|x1，则集合（UA）B=（）A（，0）B（，0C（2，+）D2，+）2若复数z满足z+zi=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）ABCD4某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A2BC3D25“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既
2、不充分也不必要条件6某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元7如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A2B3CD8设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ=
3、90，则a的取值范围是（）A18，6B65，6+5C16，4D65，6+5二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9在二项式的展开式中，常数项等于_10设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是_11执行如图所示的程序框图，输出的S值为_12设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为_；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为_13如图，ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=_；AE=_14在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个
4、角度来进行评优若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有_部优秀影片三、解答题（共6小题，满分80分）15已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x（1）若为第二象限角，且sina=，求f（）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域16某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读
5、时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望17如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA=60，设G为AF的中点（1）求证：DGEF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ平面ABEF，求线段PQ长
6、度的最小值18设aR，函数f（x）=（1）若函数f（x）在（0，f（0）处的切线与直线y=3x2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），求a的取值范围19已知椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围20已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a02k+a+a+ak20，其中a0=1，a1，a2，ak0，1，kN对于nN*，数列bn满足：当a0，a
7、1，ak中有偶数个1时，bn=0；否则bn=1，如数5可以唯一表示为5=122+021+120，则b5=0（1）写出数列bn的前8项；（2）求证：数列bn中连续为1的项不超过2项；（3）记数列bn的前n项和为Sn，求满足Sn=1026的所有n的值（结论不要求证明）2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设全集U=R，集合A=x|0x2，B=x|x1，则集合（UA）B=（）A（，0）B（，0C（2，+）D2，+）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可【解答】解：全集U=R
8、，集合A=x|0x2=（0，2），B=x|x1=（，1），UA=（，02，+）；（UA）B=（，0故选：B2若复数z满足z+zi=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由z+zi=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由z+zi=2+3i，得=，则在复平面内z对应的点的坐标为：（，），位于第一象限故选：A3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（）ABCD【考点】正弦定理【分析】由内角和定
9、理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解【解答】解：A+B+C=，sin（A+B）=sinC=，又a=3，c=4，=，即=，sinA=，故选B4某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A2BC3D2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个直角梯形，ADAB、ADBC，AD=AB=2、BC=1，PA底面ABCD，且PA=2，该四棱锥最长棱的棱长为PC=3，故选：C5“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=
10、b+c”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4即可判断出结论【解答】解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d=b+c，反之不成立：例如a=0，d=5，b=1，c=4“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件故选：A6某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表 月份 用气量煤气费 一月份 4m3 4元 二月份 25m3 14
11、元 三月份35m3 19元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）A11.5元B11元C10.5元D10元【考点】函数的值【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可【解答】解：由题意得：C=4，将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（xA），得：，解得，f（x）=，故x=20时：f（20）=11.5，故选：A7如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若ABC为等边三角形，且直线BCy轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（）A2B3CD【考点】对数函数的图象与性质【分析】根据题意，
12、设出A、B、C的坐标，由线段BCy轴，ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果【解答】解：根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），线段BCy轴，ABC是等边三角形，BC=2，2+log2m=n，m=2n2，4m=2n；又x0m=，m=x0，x0=m+；又2+log2x0n=1，log2x0=n1，x0=2n1；m+=2n1；2m+2=2n=4m，m=，故选：D8设直线l：3x+4y+a=0，圆C：（x2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ=90，则a的取值范围是（）A18，6B65
13、，6+5C16，4D65，6+5【考点】直线与圆的位置关系【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解【解答】解：圆C：（x2）2+y2=2，圆心为：（2，0），半径为，在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得PMQ=90，在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，故2，解得16a4，故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9在二项式的展开式中，常数项等于160【考点】二项式定理【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令62r=
14、0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令62r=0可得r=3常数项为=160故答案为：16010设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得A（，），由z=x+3y得：y=x+，显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3=，故答案为：11执行如图所示的程序框图，输出的S值为【考点】程序框图【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，S=1S=
15、，i=3满足条件i10，执行循环体，i=5，S=，i=6满足条件i10，执行循环体，i=11，S=，i=12不满足条件i10，退出循环，输出S的值为故答案为：12设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求，即可得到结论【解答】解：双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，=，即=e21=，则e2=，则e=，设双曲线方程为y2=，0，若点（4，2）在C上，=84=4，即双曲线方程为y2=4，即，故答案为： 13如图，ABC
16、为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BDAC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=；AE=6【考点】与圆有关的比例线段【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE【解答】解：BDAC，AC=4，BD=5=由弦切角定理得EAB=ACB，又因为，AB=AC，所以EAB=ABC，所以直线AE直线BC，又因为ACBE，所以是平行四边形所以BE=AC=4由切割线定理，可得AE2=EBED=4（4+5）=36，所以AE=6故答案为：；614在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优若
17、A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有10部优秀影片【考点】进行简单的合情推理【分析】记这10部微电影为A1A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部【解答】解：记这10部微电影为A1A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量，且A2的专家评分A1的专家评分，则优秀
18、影片最多可能有2部；再考虑3部电影的情形，若A1的点播量A2的点播量A3的点播量，且A3的专家评分A2的专家评分A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部以此类推可知：这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部故答案为：10三、解答题（共6小题，满分80分）15已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x（1）若为第二象限角，且sina=，求f（）的值；（2）求函数f（x）的定义域和值域【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）由为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos及tan的值，再代入f（）中即可得到结果（2）函数f（x）解析式利用二倍角
19、和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域【解答】解：（1）为第二象限角，且sina=，cos=，tan=，f（）=（1+tan）cos2=（2）函数f（x）的定义域为x|xk+，kZ，化简f（x）=sin（2x+）+，xk+，kZ2x+2k+，kZ1sin（2x+）1f（x）f（x）的值域为，16某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：0，10），10，20），20
20、，30），30，40），40，50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）写出a的值；（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概
21、率，写出分布列和数学期望【解答】解：（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）10=1，a=0.03，（2）由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）10=0.25，所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.251800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）10=0.035，学生人数约为0.351200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0
22、.00510=0.05，样本人数为0.0560=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.0051040=2，故X的可能取值为：1，2，3，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，X的分布列为： X 1 2 3 PE（X）=1+2+3=17如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得DFA=60，设G为AF的中点（1）求证：DGEF；（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ平面ABEF，求线段PQ长度的最小值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、
23、线、面间的距离计算【分析】（1）由矩形性质得出EFDF，EFAF，故EF平面AFD，得出EFDG；（2）证明DG平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos|；（3）设P（0，0，k）（0k），=（01），求出的坐标，令=0得出k与的关系，得出|关于的函数，根据的范围求出函数的最小值【解答】（1）证明：E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，EFDF，EFAF，又DF平面ADF，AF平面ADF，DFAF=F，EF平面ADF，DG平面ADF，DGEF（2）DF=AF，DFA=60，ADF是等边三角形，G是AF的中点，
24、DGAF又EFDG，EF，AF平面ABEF，AFEF=F，DG平面ABEF设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）C（0，4，），F（1，0，0）=（1，0，0），=（1，0，），=（2，4，0）设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，令z=2得=（2，2）=2，|=，|=1cos，=直线GA与平面BCF所成角的正弦值为（3）设P（0，0，k）（0k），=（01），则=（1，0，k），=（1，4，），=（，4，），=（1，4，k）DG平面ABEF，=（0，0，）
25、为平面ABEF的一个法向量PQ平面ABEF，=（）=0，k=|=当=时，|取得最小值18设aR，函数f（x）=（1）若函数f（x）在（0，f（0）处的切线与直线y=3x2平行，求a的值；（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），求a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），即为f（x）在xa不存在最小值，讨论a=0，a0，a0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=的
26、导数为f（x）=，xa，可得函数f（x）在（0，f（0）处的切线斜率为，由题意可得=3，解得a=1；（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）f（x1），即为f（x）在xa不存在最小值，a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；a0时，f（x）的导数为f（x）=，可得f（x）在（，a）递减；在（a，3a）递增，在（3a，+）递减，即有f（x）在x=3a处取得极大值，当xa时，f（x）0；xa时，f（x）0取x1a，x2a即可，当x1a时，f（x）在（，a）递减，且x1x1+|x1+a|a，f（x1）f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）f（x1）；同
27、理当ax1a时，令x2=x1|x1+a|，使得f（x2）f（x1）也符合；则有当a0时，f（x2）f（x1）成立；当a0时，f（x）在（，3a）递减；在（3a，a）递增，在（a，+）递减，即有f（x）在x=3a处取得极小值，当xa时，f（x）0；xa时，f（x）0f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）f（x1）综上可得，a的范围是0，+）19已知椭圆C： +=1（ab0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4（1）求椭圆C的方程；（2）设过点B（0，m）（m0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段
28、EF为直径的圆内，求m的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围【解答】解：（1）由题意，得，又a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，椭圆C的方程为（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，点D总在以线段EF为直径的圆内，且m0，0m1，点B在椭圆内，由方程组，得（
29、2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，直线l与椭圆C有两个公共点，=（4km）24（2k2+1）（2m22）0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则，设EF的中点G（x0，y0），则，G（，），|DG|=，|EF|=，点D总位于以线段EF为直径的圆内，|DG|对于kR恒成立，化简，得2m2k2+7m2k2+3m22k4+3k2+1，整理，得，而g（k）=11=，当且仅当k=0时，等号成立，m2，由m0，解得0m，m的取值范围是（0，）20已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a02k+a+a+ak20，其中a0=1，a1，a2，ak0，1，kN对于nN*，数列bn满足：当a0，a1，ak
30、中有偶数个1时，bn=0；否则bn=1，如数5可以唯一表示为5=122+021+120，则b5=0（1）写出数列bn的前8项；（2）求证：数列bn中连续为1的项不超过2项；（3）记数列bn的前n项和为Sn，求满足Sn=1026的所有n的值（结论不要求证明）【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）根据题意，分析可得，将n 表示n=a02k+a12k1+a22k2+ak121+ak20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，即可求出答案，（2）设数列bn 中某段连续为1的项从bm开始，则 bm=1由题意，令m=a02k+a12k1+a22k2+ak121+ak20，则a1，a2，ak中有奇数个1
31、，分当a0=1，a1，a2，ak，中无0时，和当a0=1，a1，a2，ak，中有0时两种情况证明，（3）由（2）即可求出n的值【解答】解：（1）数列bn的前8项为1，1，0，1，0，0，1，1（2）设数列bn 中某段连续为1的项从bm开始，则 bm=1由题意，令m=a02k+a12k1+a22k2+ak121+ak20，则a1，a2，ak中有奇数个1当a0=1，a1，a2，ak，中无0时，m=2k+2k1+21+20，m+1=12k+1+02k+021+020，m+2=12k+1+02k+021+120，bm=1，bm+1=1，bm+2=0，此时连续2项为1，当a0=1，a1，a2，ak，中有0时，若ak=0，即m=a02k+a+a+020则m+1=a02k+a+a+120，、a1，a2，ak中有奇数个1，bm+1=0，此时连续1项为1，若ak=1，即m=a02k+a+02s+，则m+1=a02k+a+12s+，m+2=a02k+a+12s+120，（其中iN）如果s为奇数，那么，bm+1=1，bm+2=0，此时连续2项为1如果s为偶数，那么bm+1=0，此时仅有1项 bm=1综上所述，连续为1的项不超过2项，（3）n=2051或n=20522016年9月18日
