1、讲课人：山东泰安英雄山中学数学组王凤全学科：数学年级：高一版本：人教版必修四课程名称：2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 向量数量积的物理背景Fs一个物体在力 的作用下发生了位移 ，那么该力对此物体所做的功为多少？Fs|s|F|Wcos其中力和位移 是向量，是 与 的夹角，而功 W是数量.FssF将公式中的力与位移推广到一般向量|s|F|Wcos功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的模及其夹角余弦的乘积出现了向量的一种新的运算|cosa ba b 一、平面向量数量积的定义coscos,.,aba baba ba ba b已知两个非零向量 与 他们的夹角为，我们把数量叫做
2、 与 的数量积（或内积）记作即（4）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是 0，180（1）a b中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能写成ab，ab 表示向量的另一种运算注意：（2）两向量的数量积是一个数量，而不是向量.（3）规定，零向量与任一向量的数量积为零.1 5,4,120.ababa b例 已知与 的夹角，求15 4()102|cosa bab解：5 4 cos120 1 5,4,135.ababa b变式 已知与 的夹角，求|cosa ba b OABab1BC|cosbab叫做向量 在 方向上的投影；|cosaba叫做向量 在 方向上的投影.|cosa ba b|
3、cosa ba baabab的几何意义：数量积等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积.二、平面向量数量积的几何意义上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|练一练：320三、平面向量数量积的性质0 09090 90180180 角 范围ab与 关系cosa b 值或符号|a ba b abcos0 cos0 cos0 cos1 cos1 0a b0a b0a b|a ba b 同向共线夹角为锐角夹角为钝角反向共线|cosabaa ba bb探究：根据向量数量积的定义，探究影响
4、数量积大小的因素有哪些？对于两个非零向量 与，其数量积何时为正数，何时为负数，何时为零？小组讨论完成下表.向量数量积的性质总结:a b设,都是非零向量,则(1)0aba b(2),|,|a ba ba ba ba ba b 当同向时；当反向时；(3)|a ba b证明向量垂直的依据求模的方法 4|a ba babcos=为，的夹角求角的依据|cosa ba b 2a aaaa a特别的或/=a ba b所以，当时，|a b|4,|8/_.ababa b已知，且，则练一练：32|4,|8_.ababa b变式：已知，且，则0四、平面向量数量积的运算律探究1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运
5、算律对向量是否也适用？为什么？小组讨论完成运算律是否成立交换律分配律结合律,a b c实数,a b c向量abbaa bb a()ab ca cb c ()ab ca cb c ()()ab ca bc()()a b ca b c 成立成立不成立2()()()ababa bab 探究：对于 与 和实数，是否成立？为什么？四、平面向量数量积的运算律探究1：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？为什么？小组讨论完成运算律是否成立交换律分配律结合律,a b c实数,a b c向量abbaa bb a()ab ca cb c ()ab ca cb c ()()ab ca bc()
6、()a b ca b c 成立成立不成立2()()()ababa bab 探究：对于 与 和实数，是否成立？为什么？abba)()()(bababacbcacba)(交换律：数乘结合律：分配律：则，和实数、已知向量cba数量积的运算律典例解析222222(1)()2(2)().abaa bbababab 例求证：；）（|3,|4,abkakbakb例4 已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？3|6,|460(2)(3).abababab例已知，与 的夹角为，求当堂检测221.,=12.|=5,|23,|_.3.|=3|6/,(2)60.4.|=1|2a ba ba ba bababa bababababa babab 已知为两个单位向量，下列说法中正确的是（）A.B.=0 C.|D.设，则已知，当(1)与 的夹角为时，分别求已知，若aab与 垂直，求 与 的夹角.D351894作业：课本P108习题2.4 1、2、3制作单位：山东泰安英雄山中学录播室制作录制时间：2015年5月12号。cbcacba)(分配律：.OCAA1Bab12证：.cOCbABaOAO，作，任取一点，如图方向上的投影等于在即cOBba)(即，方向上的投影的和在、cbacos|ba21cos|cos|ba21cos|cos|cos|bcacbacbcacbac)(.)(cbcacbaB1cab