1、一、选择题1.已知实数 x，y 满足xy102xy20，若当 x1，y0 时，zaxy 取得最大值，则实数 a 的取值范围是()A.(，2 B(2，1C.(2,4)D1,2)答案 A解析 画出满足条件的可行域(如图中阴影部分所示)，由题意知直线 yaxz 经过点(1,0)时，z 取得最大值，结合图形可知a2，即 a2.故选 A.2.已知函数 f(x)|x2|1，g(x)kx，若方程 f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是()A.0，12B.12，1C.(1,2)D(2，)答案 B解析 在同一坐标系中分别画出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示，方程 f(x)g(x)有两
2、个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线 ykx 的斜率大于坐标原点与点 A(2,1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意，故12k1，则图中阴影部分表示的集合为()A.x|x0 或 x1B.x|11 或 x1 或 x0，|0，|0)，2，又32k(kZ)，k32(kZ)，3，f(x)sin2x3，g(x)sin2x，gx6 sin2x6 sin2x3，为了得到 f(x)sin2x3 的图象，只需将 g(x)sin2x 的图象向左平移6个单位长度故选 C.6.设 F1、F2 分别是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1 的直线
3、 l 与该双曲线的左支交于 A、B 两点，且ABF2是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，记双曲线 C 的离心率为 e，则e2()A.52 2B.52 24C.52 2D.52 24答案 A解析 如图，因为过点 F1 的直线 l 与该双曲线的左支交于 A、B两点，且ABF2 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形，所以可设|BF2|AB|x，所以|AF1|x|BF1|2a，所以|AF2|4a.因为ABF290，所以 2x216a2，解得|BF2|AB|2 2a，所以|BF1|2 2a2a(2 22)a，所以(2 22)a2(2 2a)2(2c)2，即(2 22)2a28a24c2，所以 e2c2
4、a252 2.二、填空题7.已知函数 f(x)x24x，x0，sinx，x0，若 f(x)ax1，则实数 a的取值范围是_答案 6,0解析 依题意得 f(x)ax1.在同一平面直角坐标系中分别作出函数 yf(x)与 yax1(该直线过定点(0，1)、斜率为 a)的图象，如图所示设直线 yax1 与曲线 yx24x(x0)相切于点(x0，y0)，则有a2x04x00 x204x0ax01，解得 x01，a6.结合图形可知，实数a 的取值范围是6,0.8.已知平面向量 a，b，c 满足|a|b|ab2，(ca)(cb)0，则 ca 的最大值是_答案 5解析 依题意得|a|b|cosa，b2，即 c
5、osa，b12，a，b3.作OAa，OBb，OCc，则由(ca)(cb)0 得(OCOA)(OCOB)ACBC0，点 C 位于以线段 AB 为直径的圆上，易知AOB 为等边三角形，如图所示因为 ca|c|a|cos c，a2|c|cos c，a，所以 ca 的最大值即是向量OC在向量OA方向上的投影的最大值设圆心为 M，过点 M 作 MDOA，垂足为 D，则当圆 M 在点 C 处的切线平行于 MD 时，向量OC在向量OA方向上的投影最大，设此时点 C 处的切线与 OA 的延长线交于点 E.由AOB 为等边三角形可知，BAO3，所以|AD|12，故|OD|21232，所以投影的最大值为|OE|3
6、2152，故 ca 的最大值为5225.9.若不等式 9x2k(x2)2的解集为区间a，b，且 ba2，则 k_.答案 2解析 令 y1 9x2，y2k(x2)2，在同一个坐标系中作出其图象，因 9x2k(x2)2的解集为a，b且 ba2.整合图象知 b3，a1，即直线与圆的交点坐标为(1,2 2)k2 2 212 2.三、解答题10.2015陕西高考改编设复数 z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则 yx 的概率是多少？解 复数|z|1 对应的区域是以(1,0)为圆心，以 1 为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足 yx 的区域，该区域的面积为1412111412，
7、故满足 yx 的概率为14 12.11.2015课标全国卷改编已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为多少？解 设双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，不妨设点 M 在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作 MHx 轴于 H，则MBH60，BHa，MH 3a，所以 M(2a，3a)将点 M 的坐标代入双曲线方程x2a2y2b21，得 ab，所以 e 2.12设函数 f(x)x2aln(x2)，且 f(x)存在两个极值点 x1、x2，其中 x1mx2 恒成立，求 m 的最小值解(1)由题可得 f
8、(x)2x ax2(x2)函数 f(x)存在两个极值点 x1、x2，且 x12)、T(x)a，则结合图象可得2a0，即 0a2，实数 a 的取值范围是(0,2)(2)由(1)知a2x1x2x12x21x20，问题转化为fx1x2 m 恒成立，fx1x2 x21aln x12x2x24x22(x22)ln(x2)4.令x2x，则 0 x1 且fx1x2 x4x2(x2)ln x4，令 F(x)x4x2(x2)ln x4(0 x1)，则 F(x)14x22ln x2x2x4x24x2ln x1(0 x1)，令 g(x)F(x)，则 g(x)8x34x22x2x22x4x32x125x3，0 x1，g(x)F(1)10，F(x)在(0,1)上是增函数，F(x)F(1)1，即fx1x2 1，要使fx1x2 m 恒成立，则 m1，m 的最小值为1.