江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考2020届高三数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、江苏省淮安市楚中、新马、清浦、洪泽高中四校联考2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题）1.已知为实数集，集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】利用补集的定义求出集合，然后利用交集的定义求出集合.【详解】，因此，.故答案为.【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集、补集的运算，考查计算能力，属于基础题.2.“，”的否定是_【答案】，使得【解析】【分析】直接利用全称命题的否定得解.【详解】“，”的否定是：“，使得”【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题3.已知向量，若，则_【答案】【解析】试题分析：因为，所以，所以解得，考点：向量模的运算4.函数最

2、小正周期为_ .【答案】【解析】函数的最小正周期为，故答案为.5.已知函数，则 ；【答案】.【解析】试题分析：由得，进而求出.考点：分段函数的求值.6.设的内角的对边分别为，且，则_【答案】4【解析】试题分析：由及正弦定理，得又因为，所以由余弦定理得：，所以考点：正余弦定理7.已知，则_.【答案】【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值，然后通过以及计算出的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为，所以，所以【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有、以及，考查计算能力，是中档题8.将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

3、，再把得到的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则_【答案】【解析】【分析】根据函数平移变换关系求出函数解析式，然后将原点坐标代入解析式得出关于的表达式，结合条件可得出的值.【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到，所得函数图象关于原点对称，则，当时，.故答案为【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数的图象变换求出函数的解析式，以及利用函数对称性的性质是解决本题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9.若等比数列的前项和，则_【答案】【解析】【分析】先求出的值，然后由得出在时的表达式，然

4、后由满足，可求出的值.【详解】等比数列的前项和，则.当且，.适合，则，解得.故答案.【点睛】本题考查了利用等比数列的前项和表达式求参数，主要考查公式的运用和处理能力，考查计算能力，属于中等题10.算法统宗中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两_文【答案】6【解析】【分析】设肉价是每两文，根据题意列出方程可解得答案.【详解】设肉价是每两文，由题意得，解得，即肉价是每两文.【点睛】本题考查中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理

5、解题意是解题关键.11.在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则_【答案】【解析】此题最适合的方法是特例法假设ABC是以ABAC的等腰三角形，如图，AM3，BC10，ABACcosBAC12.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出函数的定义域和导数，令，得出，将问题转化为直线与函数在上有两个交点，然后利用导数分析函数的单调性和极值，作出图象，利用数形结合思想可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且，令，得，即，构造函数，则直线与函数在上有两个交点.，令，得，列表如下：极大值所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

6、极大值为，如下图所示：当时，直线与函数在上有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点，可将极值点问题转化为导数的零点问题，并借助参变量分离法与数形结合思想求解，属于中等题.13.已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设切点的坐标为，利用导数的几何意义，求得，再利用基本不等式，即可求解的最小值，得到答案.【详解】由题意，设切点的坐标为，又由函数，则，又由切线的方程可得切线的斜率为1，则，解得，即切点的横坐标为，所以切点为，代入直线方程，得，又因为、为正实数，则，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为.【点睛】本题主要考查

7、了导数的几何意义的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中利用导数的几何意义，求得，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14.已知关于的不等式有解，则整数的最小值为_【答案】【解析】【分析】令函数，利用导数求出函数的最小值，即可得出整数的最小值.【详解】构造函数，则，对任意的恒成立，所以，函数在上单调递增.，.由零点存在定理知，存在，使得.当时，；当时，.所以，函数在处取得最小值，即，由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，所以，当时，使得，因此，整数的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键

8、就是利用极值点所满足的等式来进行代换计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题二、解答题（本大题共6小题）15.已知，.（）求的值；（）求的值.【答案】()；().【解析】试题分析：（1）根据同角满足的不同命的三角公式列出方程组，求解即可（2）根据两角和差公式得到，再由二倍角公式得到，代入公式即可解析：（）由得，即. 由解得或 . 因为，所以. （）因为 , . . 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题一般，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三16.在ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量，且（1）求角A的大

9、小及向量与的夹角；（2）若，求ABC面积的最大值【答案】（1），；（2）【解析】分析】（1）由数量积的坐标表示得，根据，求；（2）三角形中，知道一边和对角，利用余弦定理得关于的等式，利用基本不等式和三角形面积公式得面积的最大值【详解】（1）因为角为锐角，所以，根据，（2）因为，得：即面积的最大值为17.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm2（1）若广告商要求包装盒侧面积

10、S（cm）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【答案】（1）x=15cm （2）【解析】【详解】试题分析：（1）先设包装盒的高为，底面边长为，写出，与的关系式，并注明的取值范围，再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积关于的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积关于的函数解析式，利用导数知识求出何时它取得的最大值即可设包装盒的高为，底面边长为由已知得（1） 当时，取得最大值 （2）根据题意有 由得，(舍)或当时；当时 当时取得极大值，也是最大值，此时包装盒的高与底面边长的比值为即包

11、装盒的高与底面边长的比值为考点：1函数的应用问题；2函数的最值与导数；3二次函数的图像与性质18.函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若判断的奇偶性；（3）是否存在实数使函数在2,3递增，并且最大值为1，若存在，求出值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）奇函数(3)【解析】试题分析：（1）当时，根据解得；（2）化简，先判断定义域关于原点对称，然后利用奇偶性的定义，判断，故函数为奇函数；（3）利用复合函数的单调性可知，由解得，经验证符合题意.试题解析：（1）由题意：，即，所以函数的定义域为.（2）易知，且，关于原点对称，又，奇函数.（3）令，在上单调递减，又函数在递增，又函数在的最大值

12、为1，即，符合题意.即存在实数，使函数在递增，并且最大值为 .点睛：本题主要考查函数的基本性质，考查奇偶性的判断，考查复合函数的单调性等知识.第一问考查函数的定义域，需要对数的真数大于零.第二问考查函数的奇偶性，判断的时候先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断和的关系，由此判断的单调性.复合函数单调性判断主要是根据同增异减.19.已知数列和满足若为等比数列，且（1）求和；（2）设，记数列的前项和为求；求正整数 k，使得对任意均有.【答案】（1）an2n(nN*)bnn(n1)(nN*)（2）(i) Sn (nN*)(ii)k4.【解析】【详解】解：(1)由题意，b3b26，知a3()8

13、. 设数列an的公比为q,又由，得 ，q2(q2舍去)，所以数列的通项为an2n(nN*) 所以，故数列的通项为bnn(n1)(nN*) (2)(i)由(1)知 (nN*)所以Sn (nN*) (ii)因为c10，c20，c30，c40，当n5时，cn 而得所以，当n5时，cn0.综上，若对任意nN*恒有SkSn，则k4.20.已知函数（其中为自然对数的底数）.（1）若,求函数在区间上的最大值；（2）若,关于的方程有且仅有一个根, 求实数的取值范围；（3）若对任意,不等式均成立, 求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，得到函数的单调区

14、间，从而求出函数的最大值即可；（2）若a=-1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即，有且只有一个根，令，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k或0k时，k=h（x）有且只有一个根；（3）设，因为在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|g（x2）-g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，当a-（ex+2x）恒成立时，a-1；当aex-2x恒成立时，a2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围试题解析：（1）当时, 故在上单调递减,上单调递增, 当时, 当时, 故在区间上（2）当时, 关于的方程为有且仅有一个实根, 则有且仅有一个实根, 设,则,因此在和上单调递减, 在上单调递增, 如图所示, 实数的取值范围是（3）不妨设,则恒成立因此恒成立, 即恒成立,且恒成立, 因此和均在上单调递增,设,则在上上恒成立, 因此在上恒成立因此,而在上单调递减, 因此时,由在上恒成立, 因此在上恒成立, 因此,设,则当时, 因此在内单调递减, 在内单调递增,因此综上述,考点：利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性