1、第17课时 空间向量的数乘运算 新知识预习探究 知识点一空间向量的数乘运算1定义：实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算2向量 a 与 a 的关系 的范围方向关系模的关系0方向相同0a0 其方向是任意的0方向相反a 的模是 a的模的|倍3.空间向量的数乘运算律(1)分配律：(ab)ab；()aaa；(2)结合律：(a)()a.【练习 1】已知空间四边形 ABCD 中，G 为 CD 的中点，则AB12(BD BC)等于()A.AG B.CGC.BC D.12BC解析：AB 12(BD BC)AB 12(2BG)AB BG AG.答案：A知识点二共线向量与共面向量 共
2、线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，ab 的充要条件是存在实数 使 ab若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 pxayb推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a 的直线，那么对于空间任一点 O，点P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t，使OP OA ta，其中 a 叫做直线 l的方向向量，如图所示 若在 l 上取AB a，则式可化为OP OA tAB 如图，空间一点 P 位于平面
3、 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP xMA yMB 或对空间任意一点 O 来说，有OPOM xMA yMB【练习 2】设 e1，e2 是空间两个不共线的向量，已知AB e1ke2，BC 5e14e2，DC e12e2，且 A，B，D 三点共线，则实数k 的值是_解析：BC 5e14e2，DC e12e2，BD BC CD(5e14e2)(e12e2)6e16e2，A，B，D 三点共线，AB BD，e1ke2(6e16e2)，e1，e2 是不共线向量，16，k6，k1.答案：1新视点名师博客1.对空间向量数乘运算的理解(1)a 是一个向量(2)a00 或 a0.(3)因为
4、a，b 可以平移到同一平面内，所以 a，b，ab，ab都在这个平面内，因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量2共线向量的特点及三点共线的充要条件(1)共线向量不具有传递性因零向量 00a，故零向量和空间任一向量 a 是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若 ab，bc.则 ac 不一定成立因为当 b0 时，a0，0c，但 a 与 c 不一定共线(2)空间三点共线的充要条件若在 l 上取AB a，则OP OA tAB OA t(OB OA)(1t)OA tOB(tR)因此空间三点 P，A，B 共线的充要条件为OP OAOB(1)此结论非常重要，经常用于解题过程中，切记！新课堂互动
5、探究考点一空间向量的线性运算 例 1 如图所示，已知正方体 ABCDABCD，点 E 是上底面 ABCD的中心，求下列各式中 x，y，z 的值：(1)BD xAD yAB zAA；(2)AE xAD yAB zAA.思维启迪：利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出 x，y，z 的值解：(1)因为BD BD DD BA AD DD AB AD AA，又BD xAD yAB zAA，所以 x1，y1，z1.(2)因为AE AA AE AA 12ACAA 12(ABAD)AA 12AB12AD12AD 12AB AA，又AE xAD yAB zAA，所以 x12，
6、y12，z1.点评：确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可；若不同，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的但无论哪一种途径，结果应是唯一的变式探究 1 如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，O为 AC 的中点(1)化简：A1O 12AB 12AD；(2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 23DD1，若EO xAB yAD zAA1，试求实数 x，y，z 的值解：(1)A1O 12(AB
7、 AD)A1O AO A1A.(2)EO AO AE 12(AB AD)AD 23AA1 12AB 12AD 23AA1x12，y12，z23.考点二空间向量共线问题例 2 如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 C1D1，AB 的中点，E 在 AA1上且 AE2EA1，F 在 CC1 上且 CF12FC1，判断ME 与NF 是否共线？思维启迪：结合给出的平行六面体，利用向量的线性运算对ME 或NF 进行化简转化，根据共线向量定理进行判断解：由已知可得：ME MD1 D1A1 A1E12BA CB 13A1A NB CB 13C1CCN FC FN NF.所以ME NF
8、，故ME NF，故ME 与NF 共线点评：1判断向量 a，b 共线的方法有两种：(1)定义法，即证明 a，b 所在基线平行或重合(2)利用“abab”判断2如果 a，b 是由空间图形中的有向线段表示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出 ab，从而得出 ab，即a 与 b 共线变式探究 2 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 在A1D1 上，且A1E 2ED1，点 F 在对角线 A1C 上，且A1F 23FC.求证：E，F，B 三点共线证明：设AB a，AD b，AA1 c.A1E 2ED1，A1F 23FC，A1E 23A1D1，A1F 25A1C，A1E
9、 23AD 23b，A1F 25(AC AA1)25(AB AD AA1)25a25b25c.EF A1F A1E 25a 415b25c25a23bc.又EB EA1 A1A AB 23bcaa23bc，EF 25EB.又EFEBE.E，F，B 三点共线.考点三空间向量共面问题例 3 已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满足OM 13OA 13OB 13OC.(1)判断MA，MB，MC 三个向量是否共面；(2)判断点 M 是否在平面 ABC 内思维启迪：要证明三个向量共面，只需证明存在实数 x，y，使MAxMB yMC，证明了三个向量共面，点 M 就在平面内解：(1)O
10、A OB OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC)，MA BM CM MB MC.向量MA，MB，MC 共面(2)由(1)向量MA，MB，MC 共面，三个向量又有公共点 M，M，A，B，C 共面，即点 M 在平面 ABC 内点评：1.证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明2利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化3空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都在平面 M
11、AB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系式这个充要条件常用以证明四点共面变式探究 3 已知 A，B，M 三点不共线，对于平面 ABM 外任意一点 O，确定在下列条件下，点 P 是否与点 A，B，M 共面？(1)2OB 3OM 6OP OA；(2)OP 4OA OB OM.解：解法一：(1)原式可化为OP OA 2(OB OP)3(OM OP)2PB 3PM，即AP2PB3PM.所以点 P 与点 A，B，M 一定共面(2)原式可化为OP 2OA(OA OB)(OA OM)2OA BA MA.由向量共面的充要条件的推论得：点 P 与点 A，B，M 共面的充要条件可写成OP OM
12、 xBA yMA 的形式，而此题推不出这一形式，故点 P 与点 A，B，M 不共面解法二：(1)原式可变形为OP 16OA 13OB 12OM，1613121，点 P 与点 A，B，M 共面(2)4(1)(1)21，点 P 与点 A，B，M 不共面.新思维随堂自测1.下列条件使 M 与 A、B、C 一定共面的是()A.OM 2OA OB OCB.OM OA OB OC 0C.OM 15OA 23OB 12OCD.MA MB MC 0解析：根据共面向量定理知 A、B、C 均错，只有 D 能使其一定共面答案：D2若 a、b 是平面 内的两个向量，则()A 内任一向量 pab(，R)B若存在，R 使
13、 ab0，则 0C若 a、b 不共线，则空间任一向量 pab(，R)D若 a、b 不共线，则 内任一向量 pab(，R)解析：当 a 与 b 共线时，A 项不正确；当 a 与 b 是相反向量，0 时，ab0，故 B 项不正确；若 a 与 b 不共线，则平面 内任意向量可以用 a，b 表示，对空间向量则不一定，故 C 项不正确，D 项正确答案：D3如图，在空间平移ABC 到ABC，连接对应顶点，设AA a，AB b，AC c，M 是 BC的中点，N 是 BC的中点，用向量 a、b、c 表示向量MN 等于()Aa12b12c B.12a12b12cCa12bD.12a解析：MN 12BB 12AA
14、 12a.答案：D4非零向量 e1，e2 不共线，则使 2ke1e2 与 e12(k1)e2 共线的 k_.解析：若 2ke1e2 与 e12(k1)e2 共线，则 2ke1e2e12(k1)e2，2k，12k1 k12.答案：125已知 ABCD 为正方形，P 是 ABCD 所在平面外一点，P 在平面 ABCD 上的射影恰好是正方形 ABCD 的中心 O.Q 是 CD 的中点，求下列各式中 x，y 的值：(1)OQ PQ xPCyPA；(2)PAxPO yPQ PD.解析：如图(1)OQ PQ PO PQ 12(PAPC)PQ 12PA12PC，xy12.(2)PAPC2PO，PA2PO P
15、C.又PCPD 2PQ，PC2PQ PD.从而有PA2PO(2PQ PD)2PO 2PQ PD.x2，y2.辨错解走出误区易错点 1 忽略共线向量定理使用的条件而出错在应用共线向量定理解题时，因忽略其使用的前提条件，即忽略了对特殊向量 0 的分析讨论而出错【典例 1】对空间任意两个向量 a，b，ab 是 ab(R)的_条件错解：充要点评：本题错解没有准确掌握向量共线的充要条件的大前提是b0.若 ab，且 b0，a0，则推不出 ab；若 ab，则 ab.ab 是 ab 的必要不充分条件正解：必要不充分易错点 2 不能正确理解共线向量、共面向量的概念而致错若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在
16、的直线可能平行，也可能重合空间任意两个向量都是共面的，如果不能准确理解概念，在解题时将出现错误【典例 2】如图所示，已知四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，且它们所在的平面不共面，M、N 分别是 AC，BF 的中点，求证 CEMN.错解：M，N 分别是 AC，BF 的中点，又四边形 ABCD，ABEF 都是平行四边形，MN MA AF FN 12CA AF 12FB，又MN MC CE EB BN 12CA CE AF 12FB，12CA AF 12FB 12CA CE AF 12FB，CE CA 2AF FB 2(MA AF FN)，CE 2MN，CE MN，即 CEMN.错因分析：证明空间图形中的两直线平行，可以先证明两直线的方向向量平行，然后观察图形，找出在一条直线上有一点不在另一条直线上，则这两条直线平行正解：证明CE MN 同上，C 不在 MN 上，CEMN.