1、阶段质量检测（三） 导数应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yx22x在点处的切线的倾斜角为()A135B45C45D135解析：选Dyx2，处的切线斜率为1，倾斜角为135.2下列求导运算正确的是()A(cos x)sin x B(ln 2x)C(3x)3xlog3eD(x2ex)2xex解析：选B(cos x)sin x，(3x)3xln 3，(x2ex)2xexx2ex.3已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图像如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减少的 B在x0处取极小
2、值C在(4，)上为减少的D在x2处取极大值解析：选C在(，0)上，f(x)0，故f(x)在(，0)上为增函数，A错；在x0处，导数由正变负，f(x)由增变减，故在x0处取极大值，B错；在(4，)上，f(x)0，f(x)单调递增，当x(1,4时，f(x)0，所以当x0时，f(x)有最小值，且最小值为0.6函数f(x)ax3x1有极值的充要条件是()Aa0 Ba0Ca0Da0解析：选Cf(x)3ax21，由题意得f(x)0有实数根，即a(x0)，所以a0，且f(x)0的解为x1，x2，则(0,1)，0a0)，yx2，由y0，得x25，x(0,25)时，y0，x(25，)时，y0，所以x25时，y取
3、最大值10若函数f(x)x2ax在上是增函数，则实数a的取值范围是()A1,0 BC.D9，)解析：选Cf(x)x2ax在上是增函数，f(x)2xa0在上恒成立，f(x)2xa在上递增，f9a0，a.故选C.11已知aR，函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)在(，1)上有最小值，若函数g(x)，则()Ag(x)在(1，)上有最大值Bg(x)在(1，)上有最小值Cg(x)在(1，)上为减函数Dg(x)在(1，)上为增函数解析：选D函数f(x)x3ax2ax2的导函数f(x)x22axa，f(x)图像的对称轴为xa，又导函数f(x)在(，1)上有最小值，所以a0，所以g(x)在(1，)上为
4、增函数故选D.12设函数f(x)是函数f(x)(xR)的导函数，若f(x)f(x)2x3，且当x0时，f(x)3x2，则不等式f(x)f(x1)3x23x1的解集为()A(，2) BC.D(2，)解析：选B令F(x)f(x)x3，则F(x)f(x)3x2，由f(x)f(x)2x3，可得F(x)F(x)，故F(x)为偶函数，又当x0时，f(x)3x2，即F(x)0，F(x)在(0，)上为增函数不等式f(x)f(x1)3x23x1可化为f(x)x3f(x1)(x1)3，F(x)F(x1)，F(|x|)F(|x1|)，由函数的单调性可知|x|x1|，解得x.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共
5、20分请把正确的答案填在题中的横线上)13函数y2x36x211的单调递减区间为_解析：y6x212x，令6x212x0，得0x0，a0，即a的取值范围是(，0答案：1(，015已知函数f(x)xexc有两个零点，则c的取值范围是_解析：f(x)ex(x1)，易知f(x)在(，1)上是减少的，在(1，)上是增加的，且f(x)minf(1)ce1，由题意得ce10，得c0)若当x(0，)时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：f(x)2即a2x22x2ln x.令g(x)2x22x2ln x，则g(x)2x(12ln x)由g(x)0得xe，0(舍去)，且0x0；当xe时g(x)0，x
6、e时g(x)取最大值g(e)e，ae.答案：e，)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)ln xexm在x1处有极值，求m的值及f(x)的单调区间解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)exm，由题意f(1)0，解得m1，f(x)ex1，利用基本函数单调性可知，在(0，)上f(x)是减少的，且f(1)0，所以当0x0，f(x)是增加的，当x1时，f(x)0，f(x)是减少的f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，)18(本小题满分12分)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)有极值，求b
7、的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且当x1,2时，f(x)0得112b0即b.所以b的取值范围是.(2)f(x)在x1处取得极值，f(1)0，31b0，得b2.则f(x)3x2x2(3x2)(x1)令f(x)0，得x1，x21，又f(1)c，fc，f(1)c，f(2)2c.f(x)max2c2或c0知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值，从而g(x)0，x(，)综上可知，f(x)0，x(，)，故f(x)的单调递增区间为(，)20(本小题满分12
8、分)已知某厂生产x件产品的成本C25 000200xx2(单位：元)(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，则应生产多少产品？解：(1)设平均成本为y元，则y200，y，令y0，得x11 000，x21 000(舍去)当在x1 000附近左侧时y0，故当x1 000时，函数取得极小值，由于函数只有一个点使y0，且函数在该点有极小值，故函数在该点取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)利润函数L500x300x25 000.L300，令L0，解得x6 000.当在x6 000附近左侧时L0，当在x6 000附近右侧时L0，故
9、当x6 000时，函数取得极大值，由于函数只有一个使L0的点，且函数在该点有极大值，故函数在该点取得最大值因此，要使利润最大，应生产6 000件产品21(本小题满分12分)若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若方程f(x)k有3个不同的根，求实数k的取值范围解：(1)f(x)3ax2b，由题意，得，即解得f(x)x34x4.(2)由(1)可得f(x)x24(x2)(x2)，令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2
10、时，f(x)有极小值，所以函数f(x)x34x4的图像大致如图所示若f(x)k有3个不同的根，则直线yk与函数f(x)的图像有3个交点，k.实数k的取值范围为.22(本小题满分12分)(2019江苏高考)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数(1)若abc，f(4)8，求a的值；(2)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3,1,3中，求f(x)的极小值；(3)若a0,0b1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M.解：(1)因为abc，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3.因为f(4)8，所以(4a)38，解得a2.(2)因为bc
11、，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.因为a，b，都在集合3,1,3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.(3)证明：因为a0，c1，所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx，f(x)3x22(b1)xb.因为00，则f(x)有2个不同的零点，设为x1，x
12、2(x1x2)由f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值Mf(x1)法一：Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()3()3.因此M.法二：因为0b1，所以x1(0,1)当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2.令g(x)x(x1)2，x(0,1)，则g(x)3(x1)令g(x)0，得x.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如表所示：xg(x)0g(x)极大值所以当x时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)maxg.所以当x(0,1)时，f(x)g(x).因此M.