1、立体几何中的向量方法（）-求空间角、距离一、选择题1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是()A平行 B相交C异面垂直 D异面不垂直解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)，(2,0,1)，0，则直线NO、AM的位置关系是异面垂直答案C2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxy
2、z，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.得M，| a.答案A3在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)，cos，sin，答案B4两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2, 1,1)，且两平面的一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是()A. B. C. D3解析 两平面的一个单位法向量n
3、0，故两平面间的距离d|n0|.答案B5已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD()A2 B. C. D1解析如图，建立直角坐标系Dxyz，由已知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)，由AB2解得t.答案C6正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为()A30 B120 C60 D90解析如图建立直角坐标系Dxyz，设DA1，由已知条件G，B，E，F，cos，0，则.答案D7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1D
4、CC1的大小为60，则AD的长为()A. B.C2 D.解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1 (0,0,2)，D(1,0,1)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0， a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)则，令z1，得m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由cos60，得，即a，故AD.答案：A二、填空题8已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上当APC最大时，三棱锥PABC的体积为
5、_解析 以B为坐标原点， BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得P(，)，再由cosAPC可求得当时，APC最大，故VPABC11.答案 9如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为_解析 设M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0，由(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值2aa2a2，故d的最小值为a.答案 a 10若向量a(1，2)，b(2， 1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，8
6、3(6)，解得2或.答案2或11正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_解析如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.则(2a,0,0)，(a，a,0)设平面PAC的法向量为n，可求得n(0,1,1)，则cos，n.，n60，直线BC与平面PAC的夹角为906030.答案3012已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_解析如
7、图，建立直角坐标系Dxyz，设DA1由已知条件A(1,0,0)，E，F，设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的二面角为，由得令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan .答案三、解答题13. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长解析：(1)证明：因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB.又ABAD，PAADA，所以AB平面PAD.
8、又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图)在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD.在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t)由ABAD4得AD4t，所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，(1,1,0)，(0,4t，t)设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，得取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t)又(t, 0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得cos60|，即，解得t或t4(舍去，因为AD4t
9、0)，所以AB.14如图所示，四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC.(1)证明：ADCE；(2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小解析 (1)证明取BC中点O，连接AO，则AOBC由已知条件AO平面BCDE，如图，建立直角坐标系Oxyz，则A(0,0，t)，D(1，0)，C(1,0,0)，E(1，0)，(1，t)，(2，0)，则0，因此ADCE.(2) 作CFAD垂足为F，连接EF，由AD平面CEF知EFAD，则CFE为二面角CADE的平面角在RtACD中，CF，在等腰ADE中EF，cosCFE.二面角CADE的余弦值为.15在如
10、图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM平面ABFE；(2)若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小解析 (1)证明法一因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90，所以EGF90，ABCEFG.由于AB2EF，因此BC2FG.连接AF，由于FGBC，FGBC，在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC，因此FGAM且FGAM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA.又FA平面ABFE，GM平面ABFE，所以GM平面ABFE.法二因为EFAB，FGBC，EGA
11、C，ACB90，所以EGF90，ABCEFG，由于AB2EF，所以BC2FG.取BC的中点N，连接GN，因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB.在ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN，则MNAB.因为MNGNN，ABFBB，所以平面GMN平面ABFE.又GM平面GMN，所以GM平面ABFE.(2)法一因为ACB90，所以CAD90，又EA平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直分别以AC，AD， AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设ACBC2AE2，则由题意得A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)，E(0,0,1)，所以(2，2,0)，
12、(0,2,0)又EFAB，所以F(1，1,1)，(1,1,1)设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)，则m0，m0，所以取z11，得x11，所以m(1,0,1)设平面ABF的法向量为n(x2，y2，z2)，则n0，n0，所以取y21，得x21，则n(1,1,0)，所以cosm，n.因此二面角ABFC的大小为60.法二由题意知，平面ABFE平面ABCD，取AB的中点H，连接CH，因为ACBC，所以CHAB，则CH平面ABFE.过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，则CRBF，所以HRC为二面角ABFC的平面角由题意，不妨设ACBC2AE2.在直角梯形ABFE中，连接FH，则FHAB，又AB
13、2，所以HFAE1，BH，因此在RtBHF中，HR.由于CHAB，所以在RtCHR中，tanHRC，因此二面角ABFC的大小为60.16如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE；(3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值解析 方法一：(1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG.F为CD的中点，GFDE且GFDE，AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.又DE2AB，四边形GFAB为平行四边形，则AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BC
14、E.证法二：取DE的中点M，连接AM、FM，F为CD的中点，FMCE.AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB.又ABDEME，四边形ABEM为平行四边形，则AMBE.FM、AM平面BCE，CE、BE平面BCE，FM平面BCE，AM平面BCE.又FMAMM，平面AFM平面BCE.AF平面AFM，AF平面BCE.(2)证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)在平面CDE内，过F作FHCE于H，连接BH，平面BCE平面CDE，FH平面BCE.F
15、BH为BF和平面BCE所成的角设ADDE2AB2a，则FHCFsin45a，BF2a，在RtFHB中，sinFBH.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.方法二：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点，F.(1)证明：，(a，a，a)，(2a,0，a)，()，AF平面BCE，AF平面BCE.(2)证明：，(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0，.平面CDE，又AF平面BCE，平面BCE平面CDE.(3)设平面BCE的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0可得xyz0,2xz0，取n(1，2)又，设BF和平面BCE所成的角为，则sin.直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.