1、第二章 章末专题整合 热点透视专题突破 热点一圆锥曲线的定义例 1(1)抛物线 y22px(p0)上有 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F 是它的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3 成等差数列By1，y2，y3 成等差数列Cx1，x3，x2 成等差数列Dy1，y3，y2 成等差数列(2)椭圆x249y2241 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1、F2 的连线互相垂直，则PF1F2 的面积为()A28 B24C22 D20分析：由抛物线定义把|AF|，|BF|，|CF|进行转化，表示成关于x1，x2，x3 的式子即可得解析：(1)由
2、抛物线定义：|AF|AA|，|BF|BB|，|CF|CC|2|BF|AF|CF|，2|BB|AA|CC|.又|AA|x1p2，|BB|x2p2，|CC|x3p2，2x2p2 x1p2x3p22x2x1x3，选 A.(2)|PF1|PF2|14，(|PF1|PF2|)2196，|PF1|2|PF2|2(2c)2100，相减得 2|PF1|PF2|96.S12|PF1|PF2|24.故选 B.答案：(1)A(2)B热点二圆锥曲线的方程与性质例 2(1)如图，椭圆 C1，C2 与双曲线 C3，C4 的离心率分别是 e1，e2与e3，e4，则 e1，e2，e3，e4 的大小关系是()Ae2e1e3e4
3、Be2e1e4e3Ce1e2e3e4De1e2e4e3(2)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，直线 l：xa2c(c为双曲线的半焦距的长)与两条渐近线交于 P、Q 两点，如果PQF 是直角三角形，则双曲线的离心率 e_.分析：解答本题的关键是利用双曲线的性质和题目条件，建立 a，b，c的关系，注意对PQF 这一特征三角形分析，可找到问题的突破口解析：(1)椭圆离心率为 e，则 e21b2a2，0e2e11.双曲线的离心率为 e，则 e1b2a2.1e3e4.因此 0e2e11e3e4.(2)由双曲线的对称性，知|PF|QF|又PQF 是直角三角形，PFQ90，PFO45.
4、渐近线为 ybax.由题意知点 P 坐标为a2c，abc，abc ca2c 即 ab.eca 2aa 2.答案：(1)A(2)2热点三直线与圆锥曲线的位置关系例 3 已知椭圆x22 y21.(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；(2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交，求 l 被椭圆截得的弦的中点轨迹方程；(3)求过点 P12，12 且被 P 点平分的弦所在直线的方程解析：设弦的两端点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，中点 M(x0，y0)，则有 x1x22x0，y1y22y0.由x212 y211，x222 y221.两式作差得：x2x1x2x12(y2y1)(y2y1)0，
5、y2y1x2x1 x2x12y2y1 x02y0.即 kAB x02y0.(1)设弦中点为 M(x，y)，由式，2 x2y，x4y0.故所求的轨迹方程为 x4y0(在已知椭圆的内部)(2)不妨设 l 交椭圆于 A、B，弦中点为 M(x，y)由式，k1kAB x2y，又klkMNy2x1，x2yy2x1.整理得 x22y2x4y0，此式对 l 的方程为 x1 时也成立所求中点轨迹方程是 x22y2x4y0(在已知椭圆的内部)(3)由式，弦所在的直线的斜率 k x02y012，故其方程为 y1212x12，即 2x4y30.热点四轨迹问题例 4 一动圆过定点 A(2,0)，且与定圆 x24xy23
6、20 内切，求动圆圆心 M 的轨迹方程分析：设圆心坐标 利用两圆内切 转化为椭圆定义 得到圆心的轨迹方程解：将圆的方程化为标准形式为(x2)2y262，这时，已知圆的圆心坐标为 B(2,0)，半径为 6，如图：设动圆圆心 M 的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为 C.已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|MC|BM|，而|BC|6，|BM|CM|6，又|CM|AM|，|BM|AM|6，根据椭圆的定义知 M 的轨迹是以点 B(2,0)和点 A(2,0)为焦点，线段 AB 的中点(0,0)为中心的椭圆a3，c2，b a2c2 5，所求圆心的轨迹方程为x
7、29 y251.【专题突破】1如图，F1，F2 是椭圆 C1：x24 y21 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是()A.2 B.3 C.32 D.62解析：椭圆 C1 中，|AF1|AF2|4，|F1F2|2 3.又因为四边形 AF1BF2 为矩形，所以F1AF290.所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，所以|AF1|2 2，|AF2|2 2.所以在双曲线 C2 中，2c2 3，2a|AF2|AF1|2 2，故 eca 32 62，故选 D 项答案：D2已知双曲线x2a2y2b21(a0，b
8、0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为 3，则 p()A1 B.32 C2 D3解析：因为双曲线的离心率 eca2，所以 b 3a，所以双曲线的渐近线方程为 ybax 3x，与抛物线的准线 xp2相交于Ap2，32 p，Bp2，32 p，所以AOB 的面积为12p2 3p 3，又 p0，所以 p2.答案：C3设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为()Ay24x 或 y28xBy22x 或 y28xCy24x 或
9、y216xDy22x 或 y216x解析：本题结合抛物线的定义以及圆的基础知识进行求解设M(x0，y0)，A(0,2)，MF 的中点为 N.由 y22px，Fp2，0，N 点的坐标为x0p22，y02.由抛物线的定义知，x0p25，x05p2.y02p5p2.|AN|MF|2 52，|AN|2254.x0p222y022 2254.即5p2p2242p5p2222254.2p5p2220.整理得 p210p160.解得 p2 或 p8.抛物线方程为 y24x 或 y216x.答案：C4O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|4 2，则POF 的面积
10、为()A2 B2 2 C2 3 D4解析：由题意知抛物线的焦点 F(2，0)，由抛物线定义知|PF|xPP2，又|PF|4 2，所以 xP3 2，代入抛物线方程求得 yP2 6，所以 SPOF12|OF|yP2 3.答案：C5设 F1，F2 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两个焦点，P是 C 上一点若|PF1|PF2|6a，且PF1F2 的最小内角为 30，则 C的离心率为_解析：根据双曲线的定义及已知条件，利用余弦定理建立关于 a，c 的方程求解设点 P 在双曲线右支上，F1 为左焦点，F2 为右焦点，则|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF
11、2|2a.在双曲线中 ca，在PF1F2 中|PF2|所对的角最小且为 30.在 PF1F2 中，由 余 弦 定 理 得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2 2|PF1|F1F2|cos30，即 4a216a24c28 3ac，即 3a2c22 3ac0.(3ac)20，c 3a，即ca 3.e 3.答案：36设椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F，离心率为 33，过点F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 33.(1)求椭圆的方程；(2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点若AC DB AD CB 8，求 k 的值解
12、析：(1)设 F(c,0)，由ca 33，知 a 3c，过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 xc，代入椭圆方程有c2a2y2b21，解得 y 6b3，于是2 6b34 33，解得 b 2，又 a2c2b2，从而 a 3，c1，所以椭圆的方程为x23 y221.(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(1,0)得直线 CD 的方程为 yk(x1)，由方程组ykx1，x23 y221消去 y，整理得(23k2)x26k2x3k260，由根与系数的关系可得 x1x2 6k223k2，x1x23k2623k2.因为 A(3，0)，B(3，0)，所以AC DB AD CB(x1 3，y1)(3x2，y2)(x2 3，y2)(3x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k262k21223k2.由已知得 62k21223k2 8，解得 k 2.