1、第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程2.3.2 圆的一般方程自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1正确理解圆的一般方程及其特点2会由圆的一般方程求其圆心、半径3会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并能简单应用4初步掌握点的轨迹方程的求法，并能简单应用.圆的一般方程的概念二元二次方程 x2y2DxEyF0.当_时，方程表示以D2，E2 为圆心，12 D2E24F为半径的圆，这个方程叫做圆的一般方程；当_时，方程表示一个点D2，E2；当_时，方程不表示任何图形D2E24F0D2E24F0D2E24F01圆 x2y24x4y0 的圆心为()A(2,2)B(2，2)C(2,2)
2、D(2，2)解析：圆的方程可化为(x2)2(y2)28，圆心为(2，2)，故选 B答案：B2已知圆 x2y2mxy0 始终被直线 yx1 平分，则m 的值为()A0 B1 C3 D3解析：圆心m2，12 在直线 yx1 上，12m21，m3.答案：C3方程 x2y24x2y5m0 表示圆的条件是_解析：(x2)2(y1)255m，则 55m0，m1.答案：m(，1)典例精析 规律总结课堂互动探究1圆的一般方程类型 (1)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43B34C 3D2(2)若方程 x2y2ax2ay54a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是
3、()Aa1 Ba1C2a23D2a0【解析】(1)圆的圆心为(1,4)，则|a41|a21 1，a43，故选 A(2)方程 x2y2ax2ay54a2a10 可化为xa22(ya)21a，1a0，a1.故选 A【答案】(1)A(2)A 已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_解析：因为方程表示圆，则 a2a2，解得 a1 或 a2，当 a1 时，方程可化为 x2y24x8y50，即(x2)2(y4)225，圆心为(2，4)，半径为 5；当 a2 时，方程可化为 4x24y24x8y100，即(2x1)2(2y2)250，不表示圆的方程答案：(2，4
4、)52求圆的一般方程类型 (1)圆心在点(2,3)，且经过点(2,6)的圆是()Ax2y24x6y40Bx2y24x6y720Cx2y24x6y90Dx2y24x6y680(2)已知圆 C 经过点 A(0，3)和 B(3,2)，且圆心 C 在直线 yx 上，则圆 C 的方程为_【解析】(1)由题可得 r 2223623，圆的方程为(x2)2(y3)29，x2y24x6y40，故选 A(2)设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心为为D2，E2，则E2D2，93EF0，943D2EF0，解得D2，E2，F3，圆的方程为 x2y22x2y30.【答案】(1)A(2)x2y22x2y30【知识点拨
5、】圆的一般方程 x2y2DxEyF0(D2E24F0)中 D，E，F 确定了，那么圆的方程也就确定了，因此只要有三个独立条件就一定能确定一个圆的方程，这是利用待定系数法求圆的方程 若圆经过点(2,0)，(0,4)，(0,2)求：(1)圆的方程；(2)圆的圆心和半径解：(1)设圆的一般式为 x2y2DxEyF0 将已知点代入方程得42DF0，164EF0，42EF0，解得D6，E6，F8，所以圆的方程为 x2y26x6y80.(2)D23，E23，所以圆心为(3,3)，r D2E24F2 10.3轨迹问题类型 圆 x2y24，过点 A(4,0)作圆的割切 ABC，则弦BC 的中点的轨迹方程为()
6、A(x1)2y24 B(x1)2y24(0 x1)C(x2)2y24 D(x2)2y24(0 x1)【解析】解法一：直接法设 BC 的中点为 M(x，y)，由圆的性质知 OMBC，kOMkBC1，yxyx41，x2y24x0，即(x2)2y24，BC 的中点的轨迹方程为(x2)2y24 且在圆 x2y24的内部部分，故选 D解法二：定义法设 BC 的中点为 M(x，y)，由圆的性质知 OMBC，M 在以 OA 为直径的圆上，OA 的中点为(2,0)，M 的轨迹方程为(x2)2y24，且在圆 x2y24 的内部部分【答案】D【知识点拨】求轨迹方程的步骤(1)设点：建立适当的坐标系，用(x，y)表
7、示曲线上任意一点M 的坐标；(2)列式：写出适合条件 P 的点 M 的集合 PM|P(M)；(3)代换：用坐标(x，y)表示条件 P(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化简：化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5)证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 如图，经过圆 x2y24 上任一点 P 作 x轴的垂线，垂足为 Q.求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程解：设 M(x，y)，P(x0，y0)则x0 x，y02y.又点 P(x0，y0)在圆x2y24 上，所以 x20y204.所以 x24y24 即为所求点的轨迹方程 已知一曲线 C 是与两个定点 O(0,0)，A(3,0)
8、的距离比为12的点的轨迹求曲线 C 的方程，并指出曲线类型解：设 M(x，y)是曲线上任意的一点，点 M 在曲线上的条件是|MO|MA|12.由两点间距离公式，得 x2y212x32y2，即 x2y22x30，即(x1)2y24.曲线 C 是以(1,0)为圆心，以 2 为半径的圆即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 圆的一般方程1若直线 3xya0 过圆 x2y22x4y0 的圆心，则a 的值为()A1 B1C3 D3解析：圆 x2y22x4y0 的圆心为(1,2)，故 3(1)2a0，a1，故选 B答案：B2圆 x2y24x6y30 的圆心和半径分别为()A(2，3)；16 B(2,3)；
9、4C(4，6)；16 D(2，3)；4解析：圆的方程可化为(x2)2(y3)216，圆心为(2,3)，r4，故选 B答案：B知识点二 圆的一般方程的应用3已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 的面积最小值是()A3 2B3 2C3 22D3 22解析：圆 x2y22x0 可化为(x1)2y21，圆心为(1,0)，半径为 1，AB 的直线方程为 x2y21，即 xy20，圆心到直线 AB 的距离为 d|102|2 323 22 1，|AB|2 2，SABC 的最小值为12|AB|(d1)122 23 22 1，即 3 2，故选 A答案：A知识点
10、三 轨迹问题4已知两定点 A(2,0)，B(1,0)，如果动点 P 满足|PA|2|PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_解析：设动点 P 的坐标为(x，y)，则由|PA|2|PB|，知 x22y22 x12y2，化简得(x2)2y24，点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心，2 为半径的圆，该圆的面积为 4.答案：4知识点四 求圆的方程5求经过三点 A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的方程解：设圆的方程为 x2y2DxEyF0，将 A，B，C 三点坐标代入，整理得方程组DEF2，D4EF17，4D2EF20.解得D7，E3，F2.所求圆的方程为 x2y27x3y20.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块