1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时两平面垂直1二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面，如图，中，棱为l或AB，面为，记作l(AB)或PlQ(PABQ)(P，Q分别为在，内且不在棱上的点).(3)二面角的平面角文字表述：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平
2、面角图形语言：符号语言：l，Ol，OA，OB，OAl，OBlAOB为二面角l的平面角(4)二面角大小的度量二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角的大小范围是0180平面角是直角的二面角叫作直二面角2平面与平面垂直的判定定理(1)定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直(2)画法：两个互相垂直的平面通常画成如图(1)，(2)所示此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，平面与垂直，记作.(3)平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言l，l3.平面与
3、平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直图形语言符号语言a1已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作MEAB于E，则()AME平面AC BME平面ACCME平面AC D以上都有可能【解析】选A.由于ME平面AB1，平面AB1平面ACAB，且平面AB1平面AC，MEAB，则ME平面AC.2如图所示，已知PA矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A.2对 B3对 C4对 D5对【解析】选D.由PA矩形ABCD知，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面ABCD；由AB平面PAD知，平面PA
4、B平面PAD；由BC平面PAB知，平面PBC平面PAB；由DC平面PAD知，平面PDC平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对3下列说法：两个相交平面组成的图形叫作二面角；异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角其中正确的是_(填序号)【解析】对于，混淆了平面与半平面的概念，是错误的；对于，由于a，b分别垂直于两个平面，所以也垂直于二面角的棱，但由于异面直线所成的角为锐角(或直角)，所以应是相等或互补，是正确的；对于，因为不垂直于棱，所以是错误的答案：4在正方体ABCDA1B1C1D1
5、中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是_【解析】因为BDAC，BDC1C，且ACC1CC，所以BD平面AA1C1C.因为BD平面C1BD，所以平面AA1C1C平面C1BD.答案：垂直5如图，平面角为锐角的二面角EF，AEF，AG，GAE45，若AG与所成角为30，求二面角EF的平面角【解析】作GH于点H，作HBEF于点B，连接AH，GB，则GBEF，GBH是二面角的平面角又GAH是AG与所成的角，设AGa，则GBa，GHa，sin GBH，所以GBH45，故二面角EF的平面角为45.一、单选题1下列命题中错误的是()A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面B如果平面不垂直于平面
6、，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【解析】选D.如果平面平面，那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面，其他与交线不垂直的直线均不与平面垂直，故D项叙述是错误的2将锐角A为60，边长为a的菱形沿BD折成60的二面角，则折叠后A与C之间的距离为()Aa Ba Ca Da【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置，取BD的中点E，连接A1E，CE.则BDCE，BDA1E.于是A1EC为二面角A1BDC的平面角故A1EC60.因为A1ECE，所以A1EC是等边三角形所以A1ECEA1Ca.3设l是直二面角，直线a，直线
7、b，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是()Aa与b可能垂直，但不可能平行Ba与b可能垂直，也可能平行Ca与b不可能垂直，但可能平行Da与b不可能垂直，也不可能平行【解析】选C.当a，b都与l平行时，则ab，所以A，D错如图，若ab，过a上一点P在内作al，因为，所以a.又b，所以ab，所以b，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直4(2021宁波高一检测)已知直线a，b，平面，下列命题：若ab，a，则b；若，a，则a；若a，a，则；若a，则其中真命题是()A BC D【解析】选A.对于，若ab，a，则由线面垂直的性质可得b，故正确；对于，若，a，则由线面垂直的性质可得a，故正确；对于，若a，则
8、存在a，使得aa，若a，则a，则，故正确；对于，若a，则a或a，故错误5(2021舟山高一检测)三棱锥的各棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列结论中不成立的是()A.BC平面PDFBDF平面PAEC平面PDE平面ABCD平面PAE平面ABC【解析】选C.对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BCDF，因为BC平面PDF，DF平面PDF，所以BC平面PDF，所以A正确，不符合题意；对于B中，因为ACAB，BEEC，所以BCAE，同理可得BCPE，又因为PEAEE，所以BC平面PAE, 又由BCDF，所以DF平面PAE，所以B正确，不符合题意；对于D中，由DF平面PA
9、E，因为DF平面ABC，所以平面PAE平面ABC，所以D正确，不符合题意，C不正确，符合题意二、多选题6(2021镇江高一检测)若m，n是两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列说法正确的有()A若mn，m，则nB若m，n，则C若mn，n，则mD若m，n，mn，则【解析】选CD.A. 若mn，m，则n或n，故A不正确；B.若m，n都与两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出，故B不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C正确；D. 若m，n，mn，则，故D正确7(2021唐山高一检测)如图，在三棱锥SABC中，SBASCA90，且ABC是斜边ABa的等腰直角三角形，给
10、出下列结论中，正确的是()A.SBACBSB平面ABCC平面SBC平面SACD点C到平面SAB的距离为a【解析】选ABC.由于ACBC，ACSC，SC，BC平面SBC，SCBCC，所以AC平面SBC，所以SBAC，故选项A正确；前面已经证明AC平面SBC，AC平面SAC，所以平面SBC平面SAC，所以选项C正确；因为SBAC，SBAB，AB，AC平面ABC，ABACA，所以SB平面ABC，故选项B正确；取AB的中点D，连接CD，则CDAB，CDSB，因为AB，SB平面SAB，ABSBB，故CD平面SAB，则CD的长度即为点C到平面SAB的距离，而CDa，故选项D错误三、填空题8已知l，m是两条
11、不同的直线，是两个不同的平面，有下列四个结论：若l，且，则l；若l，且，则l；若l，且，则l；若m，且lm，则l.则所有正确结论的序号是_【解析】若l，则l，可以平行或相交，l也可能在平面内，故错误；由面面平行的性质、线面垂直的判定方法，得正确；若l，则l或l，故错误；若m，lm，则l或l，故错误所以正确结论的序号是.答案：四、解答题9如图所示，已知圆锥的顶点为S，AB为底面圆O的直径，点D为线段AB上一点，且ADDB，点C为圆O上一点，且BCAC，P为母线SA上的点，其在底面圆O上的正投影为点D，求证：PACD.【证明】连接CO(图略)，由3ADDB知，D为AO的中点，又AB为圆O的直径，所
12、以ACCB，由ACBC知，CAB60，所以ACO为等边三角形，从而CDAO.因为点P在圆O所在平面上的正投影为点D，所以PD平面ABC，又CD平面ABC，所以PDCD，由PDAOD得，CD平面PAB，又PA平面PAB，所以PACD.一、选择题1如图所示，三棱锥PABC的底面在平面内，且ACPC，平面PAC平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()A.一条线段B一条直线C一个圆D一个圆，但要去掉两个点【解析】选D.因为平面PAC平面PBC，ACPC，平面PAC平面PBCPC，AC平面PAC，所以AC平面PBC.又因为BC平面PBC，所以ACBC.所以ACB90.所以动点C的轨迹是以AB
13、为直径的圆，除去A和B两点2如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是()A30 B45 C60 D90【解析】选D.连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BCACa，BDDCa，所以BC2BD2DC2，所以BDC90.3(多选)(2021泉州高一检测)如图菱形ABCD中，AB2，DAB60，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至A1DE的位置后，连接A1C，A1B.若F是A1C的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有()A异面直线A1E与DC所成的角不断变大B二面角A1DCE的平面角恒为45C点F到平面A1EB的距离恒为D
14、当A1在平面EBCD的投影为E点时，直线A1C与平面EBCD所成角最大【解析】选CD.因为DCAB，可知A1EB或其补角即是异面直线A1E与DC所成的角，在翻折的过程中，异面直线A1E与DC所成的角是先增大后减小，所以选项A不正确；二面角A1DCE的平面角不是定值，所以选项B不正确；因为F是A1C的中点，所以F到平面A1EB的距离是C到平面A1EB的距离的一半，因为DCEB，DC平面A1EB，EB平面A1EB，所以DC平面A1BE，所以C到平面A1EB的距离等于D到平面A1EB的距离，又因为DEEB，DEEA1，EA1EBE，所以DE平面A1EB，易知DE，所以点D到平面A1EB的距离为，即点
15、F到平面A1EB的距离恒为，所以选项C正确；因为DE平面A1EB，DE平面DEBC，所以平面A1EB平面DEBC，平面A1EB平面DEBCEB，在平面A1EB中，作A1HEB，垂足为H，则A1H平面DEBC，直线A1C与平面EBCD所成角为A1CH，因为A1HA1E，当且仅当A1在平面EBCD的投影为E点时，取到等号，此时直线A1C与平面EBCD所成角最大，所以选项D正确二、填空题4如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60的二面角，这时顶点A到BC的距离是_【解析】在翻折后的图形中，BDC为二面角BADC的平面角，即BDC60，AD平面BDC.过D作DEBC于E，连接AE，则E为BC
16、的中点，且AEBC，所以AE即为点A到BC的距离易知，ADa，BCD是边长为的等边三角形，所以DEa，AEa.答案：a5如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是_【解析】如图：因为OAOB，OAOC，OB，OC且OBOCO，根据线面垂直的判定定理，可得OA，又OA，根据两平面垂直的判定定理，可得.答案：两平面垂直的判定定理6在空间四边形ABCD中，平面ABD平面BCD，BAD90，且ABAD，则AD与平面BCD所成的角是_【解析】如图，过A作AOBD于O 点，因为平面ABD平面BCD
17、，所以AO平面BCD，则ADO即为AD与平面BCD所成的角因为BAD90，AB AD.所以ADO45.答案：457如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.(1)平面PBE与平面PAB的位置关系是_；(2)平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为_【解析】(1)连接BD.因为四边形ABCD是菱形，BCD60，所以BCD是等边三角形，因为E是CD的中点，所以BECD，所以BEAB.因为PA平面ABCD，BE平面ABCD，所以PABE，又PA平面PAB，AB平面PAB，PAABA，所以BE平面PAB，又BE平面PBE，所以平
18、面PBE平面PAB.(2)延长AD，BE相交于点F，连接PF，过点A作AHPB于H，由(1)知平面PBE平面PAB，所以AH平面PBE.PF平面PBE，则AHPF，在RtABF中，因为BAF60，所以AF2AB2AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG，则AGPF，连接HG.AGAHA，AG平面AGH，AH平面AGH，所以PF平面AGH，所以PFHG，所以AGH是平面PAD和平面PBE所成的二面角的平面角(锐角).在等腰RtAGP中，AGAP，在RtPAB中，AH，所以，在RtAHG中，sin AGH，故平面PAD和平面PBE所成的二面角的正弦值为.答案：(1)垂直(2)三、解答题8
19、如图，在三棱锥A BCD中，ABAD, BCBD, 平面ABD平面BCD, 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.【解题指南】(1)根据ABAD，EFAD，可得EFAB，从而得EF平面ABC.(2)证明BCAD，再由ABAD，从而可得AD平面ABC，即得ADAC.【证明】(1)在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD, BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又
20、因为ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点(1)求证：平面MNF平面NEF；(2)求二面角MEFN的平面角的正切值【解析】(1)因为N，F均为所在棱的中点，所以NF平面A1B1C1D1.而MN平面A1B1C1D1，所以NFMN.又因为M，E均为所在棱的中点，所以C1MN和B1NE均为等腰直角三角形，所以MNC1B1NE45，所以MNE90，所以MNNE.又NFNEN，所以MN平面NEF.而MN平面MNF，所以平面MNF平面NEF.(2)在平面NEF中，过点N作NGEF于点G，连接MG.由(1)知MN平面NEF，又EF平面NEF，所以MNEF.NG平面NEF，所以MNNG.又MNNGN，所以EF平面MNG，所以EFMG.所以MGN为二面角MEFN的平面角设该正方体的棱长为2.在RtNEF中，NG，所以在RtMNG中，tan MGN.所以二面角MEFN的平面角的正切值为.关闭Word文档返回原板块
