1、第18课时 空间向量的数量积运算 新知识预习探究知识点一空间两个向量的夹角(1)定义：如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作a，b(2)范围：0a，b.(3)向量的垂直：如果a，b2，那么向量 a，b 互相垂直，记作 ab.【练习 1】在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为 135的是()A.AB 和AC B.AB 与CAC.AB 与AD D.AB 与BA解析：AB，ACAB，AC 45，AB，CA180AB，AC 135，AB，ADAB，AD 90，AB，BA180.答案：B知识点二空间向量的数量积定义已知两个非
2、零向量 a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量 a，b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cosa，b零向量与任意向量的数量积为 0，即 0a0几何意义向量 a，b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosa，b的乘积，或等于 b 的长度|b|与 a 在 b 的方向上的投影|a|cosa，b的乘积(a)b(ab)abba(交换律)运算律a(bc)abac(分配律)【练习 2】已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，则AE AF 等于_解析：AE 12(AB AC)，AF 12AD，AB AD AC
3、 AD 12a2，AE AF 14(AB AC)AD 14AB AD 14AC AD 14a2.答案：14a2知识点三空间向量数量积的性质 序号性质(1)ae|a|cosa，e(其中 e 为单位向量)(2)若 a，b 为非零向量，则 abab0(3)aa|a|2 或|a|aa a2(4)若 a，b 为非零向量，则 cosa，b ab|a|b|(5)|ab|a|b|(当且仅当 a，b 共线时等号成立)【练习 3】若|a|b|ab|，则 b 与 ab 的夹角为()A30 B60C150 D120解析：令|a|k，|a|ab|，|a|2|ab|2(ab)(ab)a2b22ab.abk22，|ab|a
4、2b22ab 3k，b(ab)bab2k22 k232k2.设 b 与 ab 的夹角为，则 cosbab|b|ab|32k2k 3k 32.30.答案：A新视点名师博客1.空间向量夹角的理解(1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两个非零向量共线同向时，夹角为 0，共线反向时，夹角为.(2)对空间任意两个非零向量 a，b 有：a，bb，aa，bb，a；a，ba，ba，b2空间向量数量积的提醒(1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即 abacbc，(ab)ca(bc)都不成立(3)若 abk(k0)，不能得出 akb或
5、bka，即向量不能进行除法运算.新课堂互动探究考点一空间向量的数量积的计算 例 1 如图，已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E，F 分别是 AB，AD的中点，计算：(1)EF BA；(2)EF BD；(3)EF DC.思维启迪：求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，根据数量积的定义进行计算解：(1)EF BA 12BD BA 12|BD|BA|cosBD，BA 1211cos6014，所以EF BA 14.(2)EF BD 12BD BD 12|BD|BD|cosBD，BD 1211cos012，所以EF BD 12.(3)EF DC 12BD DC 12|BD|
6、DC|cosBD，DC 1211cos12014，所以EF DC 14.点评：1.在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算在解题过程中要注意两向量的夹角，正确运用两向量夹角的定义2有关数量积的运算应注意的问题：(1)与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，数量积的结果为数量；(2)书写规范：不能写成 ab，也不能写成 ab.变式探究 1 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABAA12，AD4，E 为侧面 AA1B1B 的中心，F 为 A1D1 的中点求下列向量的数量积：(1)BC ED1；(2)BF AB1.解：如图所示
7、，设AB a，AD b，AA1 c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)BC ED1 BC(EA1 A1D1)b12(ca)b|b|24216.(2)BF AB1(BA1 A1F)(AB AA1)ca12b(ac)|c|2|a|222220.考点二利用空间向量的数量积求夹角例 2 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求向量BC1 与AC 的夹角的大小思维启迪：求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义 ab|a|b|cosa，b，求出 cosa，b ab|a|b|的值，然后确定a，b的大小解：方
8、法一：因为AD1 BC1，所以D1AC 即为向量BC1 与AC 的夹角又因为 D1AC 为正三角形，所以D1AC60，即BC1，AC 60.所以向量BC1 与AC 的夹角为 60.方法二：设正方体的棱长为 1，则BC1 AC(BC CC1)(AB BC)(AD AA1)(AB AD)AD AB AD2 AA1 AB AA1 AD 0AD2 00AD2 1.又|BC1|2，|AC|2，所以 cosBC1，AC BC1 AC|BC1|AC|12 212.因为BC1，AC 0，180，所以BC1，AC 60，所以向量BC1 与AC 的夹角为 60.变式探究 2 如图，在空间四边形 OABC 中，OA
9、8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求 OA 与 BC 所成角的余弦值解：因为BC AC AB，所以OA BC OA AC OA AB|OA|AC|cosOA，AC|OA|AB|cosOA，AB 84cos13586cos12016 224.所以 cosOA，BC OA BC|OA|BC|2416 28532 25.即 OA 与 BC 所成角的余弦值为32 25.考点三利用空间向量的数量积证明垂直例 3 已知空间四边形 ABCD 中，ABCD，ACBD，求证：ADBC.证明：ABCD，ACBD，AB CD 0，AC BD 0.AD BC(AB BD)(AC AB)AB AC B
10、D AC AB2 AB BDAB AC AB2 AB BDAB(AC AB BD)AB DC 0.AD BC，从而 ADBC.点评：当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定变式探究 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC与 BD 的交点，G 为 CC1 的中点，求证：A1O平面 GBD.证明：设A1B1 a，A1D1 b，A1A c，则 ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.A1O A1A AO
11、A1A 12(AB AD)c12a12b，BD AD AB ba，OG OC CG 12(AB AD)12CC1 12a12b12c.A1O BD c12a12b(ba)cbca12ab12a212b212ba12(b2a2)12(|b|2|a|2)0.于是A1O BD，即 A1OBD.同理可证A1O OG，即 A1OOG.于是有 A1O平面 GBD.考点四利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)例 4 在正四面体 ABCD 中，棱长为 a，M，N 分别是棱 AB，CD上的点，且|MB|2|AM|，|CN|12|ND|，求|MN|.解：MN MB BC CN23AB(AC AB)13(AD A
12、C)13AB 13AD 23AC.MN MN 13AB 13AD 23AC 13AB 13AD 23AC19AB 229AD AB 49AB AC 49AC AD 19AD2 49AC 219a219a229a229a219a249a259a2.故|MN|MN MN 53 a.即|MN|53 a.点评：求两点间的距离或线段长度的方法如下(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|a2，通过计算求出|a|，即得所求距离变式探究 4 如图所示，在ABCD 中，AD4，CD3，D60，PA平面 ABCD，PA6，求线段 PC 的长解析：PCPAAD DC，|P
13、C|2(PA AD DC)2|PA|2|AD|2|DC|22PA AD 2AD DC 2DC PA6242322|AD|DC|cos120611249.|PC|7，即 PC7.新思维随堂自测1.设 a，b 为空间的非零向量，下列各式：a2|a|2；aba2 ba；(ab)2a2b2；(ab)2a22abb2；(ab)cb(ac)(bc)a；向量 b 在向量 a 的方向上的投影为|a|cosa，b，其中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：由向量数量积的性质可知正确；向量的数量积不满足消去律，故不正确；(ab)2a2b2cos2a，ba2b2，故不正确；由向量数量积的运算律知正确；数量积不满
14、足结合律，不正确；|a|cosa，b为向量 a 在向量 b 的方向上的投影，不正确答案：B2空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC3，则OA，BC 的值为()A60 B45C120 D90解析：OA BC OA(OC OB)OA OC OA OB|OA|OC|cosOA，OC|OA|OB|cosOA，OB 0.OA BC，cosOA，BC 0.OA，BC 90.答案：D3已知 a3p2q，bpq，p 和 q 是相互垂直的单位向量，则ab()A1 B2C3 D4解析：pq 且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.答案：A4已知向量 a，b，c 两两夹角都是 6
15、0，且|a|b|c|1，则|a2bc|_.解析：|a2bc|2a24b2c24ab4bc2ac1414cos604cos602cos603，|a2bc|3.答案：35如图，已知 E 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 C1D1 的中点，试求向量A1C1 与DE 夹角的余弦值解析：设正方体的棱长为 m，AB a，AD b，AA1 c，则|a|b|c|m，abbcac0.又A1C1 A1B1 A1D1 AB AD ab，DE DD1 D1E DD1 12D1C1 c12a.A1C1 DE(ab)c12a acbc12a212ab12a212m2.又|A1C1|2m，|DE|52 m，cosA
16、1C1，DE A1C1 DE|A1C1|DE|12m252 m 2m 1010.辨错解走出误区易错点 1 利用两向量的数量积解决问题时，两向量的夹角找不对本节知识在理解与运用的过程中易出现的错误是：(1)将OA 与OB 的夹角与AO 与OB 的夹角混淆；(2)将异面直线所成的角与两向量的夹角混淆；(3)忽略向量的数量积不一定满足 a(bc)(ab)c 的形式【典例 1】如图所示，在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD，每条边的长度和两条对角线的长度都等于 2，M，N 分别是 AB，AD的中点，求MN DC.错解：MN DC 12BD DC 12|BD|DC|cosBD，DC 124cos
17、601.点评：错解认为BD，DC 60，而向量夹角的概念中强调两向量为同起点向量事实上，BD，DC 18060120.正 解：MN DC 12BD DC 12|BD|DC|cosBD，DC 124cos1201.易错点 2 将向量的运算性质与实数的运算性质混淆而致错在实数的运算中，若 abac(a0)，则 bc，若 ab0，则 a0或 b0，这些在向量的运算中都不成立，如果误用就会导致一些错误的出现，解题时要格外注意【典例 2】已知 a，b 都是非零向量，且向量 a3b 与 7a5b垂直，向量 a4b 与 7a2b 垂直，求向量 a 与 b 的夹角错解：由题意得a3b7a5b0，a4b7a2b
18、0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20.两式相减得 46ab23b20，即 b(2ab)0，b0(不合题意，舍去)，或 2ab0，由 2ab0 知 a 与 b 共线，且 a 与 b 方向相同，a 与 b 的夹角为 0.错因分析：本题误用实数的运算性质，即对于实数 a，b，若 ab0，则必有a0 或 b0.但对于向量 a 与 b，若满足 ab0，则不一定有 a0 或b0.正解：由题意得a3b7a5b0，a4b7a2b0，即7a216ab15b20，7a230ab8b20.两式相减得 46ab23b20，b22ab 代入 7a216ab15b20，得 a22ab，a2b22ab，设 a 与 b 的夹角为，cos ab|a|b|12|a|2|a|2 12，向量 a 与 b 的夹角为 60.
