1、深圳市2011-2012学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）满分150分 ，考试用时120分钟适用深圳高级中学，考试内容：选修2-1，选修2-2，必修3.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数，则在复平面上对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件3已知抛物线y22px（p0）的准线与圆（x3）2y216相切，则p的值为（ ）A.B.1C.2D.44设函数时，有（ ）ABC
2、D5.有以下命题：如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。其中正确的命题是 （ ）A. B. C. D.6.已知A（1，0），B（1，0），若点满足（ ）A6B4C2D与x，y取值有关7设函数的前n项和为（ ）A B C D8.如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，记此数列的前项之和为，则的值为（ ）A66 B153 C295 D361二、 填空题：本大题共6小题每小题5分，满分30分9.某城
3、市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为 .10 曲线， 和直线围成的图形面积是 11.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则 最小值为_12已知,且,则 .13已知数列满足，令，类比课本中推导等比数列前项和公式的方法，可求得= 14 已知定义在上的函数，函数，若在处取得最大值，则正数的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15.（本小题满分12分）已知为虚数，为实数（
4、1）若为纯虚数，求虚数；（2）求的取值范围16. （本小题满分13分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）（1）求x,y ;（2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。17. （本小题满分13分）如图，棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=2，BD=.（1）求证：BD平面PAC；（2）求二面角PCDB余弦值的大小； （3）求点C到平面PBD的距离.18. （本小题满分14分） 已知定义在正实数集上的函数，其中 设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（
5、I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）19.(本小题满分14分)已知双曲线的左、右顶点分别为,点,是双曲线上不同的两个动点. （1）求直线与交点的轨迹E的方程（2）若过点H(0, h)（h1）的两条直线和与轨迹E都只有一个公共点，且，求的值.20. (本小题满分14分)若对于正整数、表示的最大奇数因数，例如，并且,设（）求S1、S2、S3；（）求；（III）设，求证数列的前顶和深圳市2011-2012学年度第一学期期末考试高二数学试卷（理科）参考答案满分150分 ，考试用时120分钟适用深圳高级中学，考试内容：选修2-1，选修2-2，必修3.一、 选择题： 1.D 2.A 3.C 4.C
6、 5.C 6.B 7.C 8.D二、 填空题 9.1.5 10. 11.-2 12. 0 13. 14. 三、 解答题15解：（1）设，则，由为纯虚数得，则 , 得， 所以或. （2）, ，,， 由得, . 16.17.解：方法一：证：在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2，ABCD为正方形，因此BDAC. PA平面ABCD，BD平面ABCD，BDPA .又PAAC=A BD平面PAC. 解：（2）由PA面ABCD，知AD为PD在平面ABCD的射影，又CDAD， CDPD，知PDA为二面角PCDB的平面角. 又PA=AD，PDA=450 . yzDPABCx（3）PA=AB=AD=2，P
7、B=PD=BD= ，设C到面PBD的距离为d，由，有， 即，得 方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.2分在RtBAD中，AD=2，BD=， AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0）， ，即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC. 4分 解：（2）由（1）得. 设平面PCD的法向量为，则，即， 故平面PCD的法向量可取为 PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 7分设二面角PCDB的大小为q，依题意可得 . 9分 （3）由（）得，设平面PBD的法向量为，则，即，x=y=z，故可取为.11分 ，C到面PBD的距离为
8、 14分18、解：（）设与在公共点处的切线相同， 2分由题意，即由得：，或（舍去） 即有4分令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为7分（）设，8分则10分故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，14分19.(本小题满分14分) 来 经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,故交点轨迹E的方程为（2）设，则由知，.将代入得，即，若与椭圆相切,则，即;同理若与椭圆相切,则.由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:1直线与都与椭圆相切,即,且,消去得，即，从而，即; 2直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;3直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;4 直线过点,而直线过点,此时综上所述,h的值为20、解：（）1分2分3分（），4分 5分6分7分 则8分9分（）10分 11分当时，成立 12分当时，13分 14分