1、1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义2会判断含量词命题的真假.1.短语“_”、“_”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题叫做_2.全称命题的形式：对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立，可简记为_所有的任意一个全称命题xM，px3.短语“_”、“_”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“_”表示，含有存在量词的命题叫做_4.特称命题的形式：存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立，可简记为_存在一个至少有一个特称命题x0M，px0思考探究如何判断全称命题与特称命题的真假？提示：(1)要确定一个全称命题
2、是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题(2)要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题1.下列命题：今天有人请假；中国所有的江河都流入太平洋；中国公民都有受教育的权力；每一个中学生都要接受爱国主义教育；有人既能写小说，也能搞发明创造；任何一个数除 0 都等于 0其中是全称命题的有()A1 个 B2 个C3 个 D不少于 4 个解析：、都含有全称量词答案：D2下列全称命题中真命题的个数为()末位是 0 的整数，可以被 2 整除；角平分线上的点到这个角的两边的距
3、离相等；正四面体中两侧面的夹角相等A1 B2 C3 D0解析：均为全称命题且均为真命题，故选 C.答案：C3下列命题不是“存在 x0R，x203”的表述方法的是()A有一个 x0R，使得 x203 成立B对有些 x0R，使得 x203 成立C任选一个 xR，使得 x23 成立D至少有一个 x0R，使得 x203 成立解析：C 答案已经是全称命题了答案：C4命题“有些负数满足不等式(1x)(19x2)0”用“”写成特称命题为_解析：“有些”即存在x0R，x005判断下列命题是全称命题还是特称命题？并判断其真假(1)存在一个实数，使等式 x2x80 成立；(2)每个二次函数的图象都与 x 轴相交；
4、(3)若对所有的正实数，不等式 mx1x都成立，则m2；(4)如果对任意的正整数 n，数列an的前 n 项和 Snan2bn(a，b 为常数)，那么数列an为等差数列解：(1)特称命题x2x8(x12)2314 0，命题为假命题(2)全称命题，假命题，如yx2x1 与 x 轴不相交(3)全称命题x 是正实数，x1x2x1x2(当且仅当 x1 时“”成立)即 x1x的最小值是 2，而 mx1x，从而 m2.所以这个全称命题是真命题(4)全称命题Snan2bn，a1ab.当 n2 时，anSnSn1an2bna(n1)2b(n1)2naba，所以 an2anba(nN*)从而数列an是等差数列，即
5、这个全称命题也是真命题1.全称命题与特称命题的构成形式判断一个命题是否为全称命题或特称命题，关键是看命题中是否含有全称量词或存在量词，并熟悉以下表述方法命题全称命题“xM，p(x)”特称命题“x0M，p(x0)”表述方法对所有的 xM，p(x)成立对一切 xM，p(x)成立对每一个 xM，p(x)成立任选一个 xM，p(x)成立凡是 xM，都有 p(x)成立存在 x0M，使 p(x0)成立至少有一个 x0M，使 p(x0)成立对有些 x0M，使 p(x0)成立对某个 x0M，使 p(x0)成立有一个 x0M，使 p(x0)成立注意：有些全称命题文字叙述中会省略全称量词，如“等腰三角形两底角相等
6、”，另外全称命题和特称命题也可能包含多个变数如xR，yR，(xy)(xy)0.x0R，y0R，x20y201.2全称命题与特称命题真假的判断判断全称命题：“xM，p(x)”的真假时，可以先考虑它是否为假，即研究是否“x0M，p(x0)不成立”，如果找不到反例，就从正面证明判断特称命题“x0M，p(x0)”的真假时，可以先考虑它是否为真，即能否找到一个 x0符合题意，若找不到，可证明“xM，綈 p(x)”为真，从而说明原命题为假.全称命题与特称命题的判断例 1 判断下列语句是全称命题，还是特称命题：(1)凸多边形的外角和等于 360；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角，都有 sin2cos2
7、1；(4)有些素数的和仍是素数；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直分析 先看是否有全称量词和存在量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于360，故为全称命题(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题点拨 判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断练 1 判断下列语句是全称命题还是特称命题
8、：(1)有一个实数，tan 无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数答案(1)特称命题(2)不是命题(3)全称命题(4)全称命题(5)全称命题全称命题与特称命题的真假例 2 判断下列命题的真假：(1)有些三角形的重心在某一边上；(2)x0，T2，使 sin(x0T)sinx0；(3)xR，x220；(4)所有的直线都有斜率解(1)三角形的三条边的中线的交点叫做三角形的重心，所有三角形的重心都在三角形内部，所以有些三角形的重心在某一边上是假命题(2)x04，T2，使 sin(42)cos4sin4
9、 22，所以是真命题(3)由于xR，都有 x20，因而有 x2220，即 x220.所以命题“xR，x220”是真命题(4)当直线的倾斜角等于 90时不存在斜率，故所有的直线都有斜率是假命题点拨(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合 M 中的一个 xx0，使得 p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)(2)判断特称命题“x0M，p(x0)”的真假性的关键是探究集合 M 中 x0的存在性若找到一个元素 x0M，使 p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在 x0M，使 p(x0)成立，
10、则该命题是假命题练 2(2010湖南高考)下列命题中的假命题是()A.xR,2x10B.xN*，(x1)20C.x0R，lgx00 恒成立，故是真命题；B 中命题是全称命题，当 x1 时，(x1)20，故是假命题；C 中命题是特称命题，当 x1 时，lgx0，故是真命题；D 中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题答案 B含有量词的命题的应用例 3 已知函数 f(x)x22x5.(1)是否存在实数 m，使不等式 mf(x)0 对于任意 xR 恒成立，并说明理由(2)若至少存在一个实数 x0，使不等式 mf(x0)0 成立，求实数 m 的取值范围分析 有关一元二次不等式 ax2bxc0(
11、f(x)恒成立，只需 af(x)max.若存在一个实数 x0，使 af(x0)成立，只需 af(x)min.解 解法一：(1)不等式 mf(x)0 可化为mf(x)，即 mx22x5(x1)24.要使 m(x1)24 对于任意 xR 恒成立，只需 m4 即可故存在实数 m 使不等式 mf(x)0 对于任意 xR 恒成立，此时需 m4.(2)不等式 mf(x0)0，可化为 mf(x0)，若至少存在一个实数 x0使不等式 mf(x0)成立，只需 mf(x)min.又 f(x)(x1)24，f(x)min4，m4.所以所求实数 m 的取值范围是(4，)解法二：(1)要使不等式 mf(x)0 对xR
12、恒成立，即 x22x5m0 对xR 恒成立，(2)24(5m)4，当 m4 时，mf(x)0 对于任意 xR 恒成立(2)若至少存在一个实数 x0，使 mf(x0)0 成立，即 x202x05m0 即可，解得 m4.所以实数 m 的取值范围是(4，)点拨 解决有关存在性命题的参数取值范围问题，应尽量分离参数，若得到 g(a)f(x)成立，则只需求 f(x)的值域B，进而确定使 g(a)B 的 a 的值即可若 g(a)f(x)，则只需确定 g(a)f(x)的最小值即可类似地，对于全称命题(特别是恒成立)的问题，也应尽量用分离参数法来求解练 3 已知命题 p：“x1,2，x2a0”，命题 q：“x
13、0R，使 x202ax02a0”若命题“p 且 q”是真命题，求实数 a 的取值范围解 命题 p：x2a0 即 ax2，x1,2时，上式恒成立，而 x21,4，a1.命题 q：(2a)24(2a)0 即 a1 或 a2.p 且 q 为真命题，p，q 均为真命题a1 或 a2.即实数 a 的取值范围是a|a1 或 a2一、选择题1下列命题中是全称命题并且是真命题的是()A每个二次函数的图象都开口向上B对任意非正数 c，若 abc，则 abC存在一条直线与两个相交平面都垂直D存在一个实数 x0使不等式 x203x060 DxR,2x0解析：选项 A，lgx0 x1；选项 B，tanx1x4k(kZ
14、)；选项 C，x30 x0；选项 D,2x0 xR，故选 C.答案：C4给出下列命题：存在实数 x01，使 x201；全等的三角形必相似；有些相似三角形全等；至少有一个实数 a，使关于 x 的方程 ax2ax10 的根为负数其中特称命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：只有是全称命题答案：C5(2010天津高考)下列命题中，真命题是()AmR，使函数 f(x)x2mx(xR)是偶函数BmR，使函数 f(x)x2mx(xR)是奇函数CmR，函数 f(x)x2mx(xR)都是偶函数DmR，函数 f(x)x2mx(xR)都是奇函数解析：由于当 m0 时，函数 f(x)x2mxx2为偶函数，故“m
15、R，使函数 f(x)x2mx(xR)为偶函数”是真命题答案：A6若对于xR，x2a2|x|恒成立，则实数 a 的取值范围是()Aa1 Da1解析：对于xR，x2a2|x|恒成立，即 ax22|x|恒成立令 f(x)x22|x|，xR，则 f(x)f(x)当 x0 时，f(x)x22x(x1)211，故 a1.答案：B二、填空题7用量词符号“”“”表示命题“所有实数 x 都能使 x4x210 成立”为_解析：根据全称命题的定义xR，x4x2108下列命题中，是全称命题或特称命题的是_正方形的四条边相等；所有有两个角是 45的三角形是等腰直角三角形；正数的平方根不等于 0；至少有一个正整数是偶数；
16、所有正数都是实数吗？解析：为特称命题，为全称命题，而不是命题9若xR，使 x1xm 成立，则实数 m 的取值范围是_解析：依题意，关于 x 的方程 x1xm 有实数解，x2mx10 有实数解(m)240，解得 m2 或 m2.m|m2 或 m2三、解答题10判断下列命题的真假：(1)，R，使 sin()sinsin；(2)x0，y0Z，使 3x04y020；(3)x0R，|x0|x0.解：(1)sin()sincoscossinsinsin，是假命题(2)取 x00，y05 时，304(5)20 成立，是真命题(3)取 x03 时，|3|3 成立，是真命题11判断下列命题是否是全称命题或特称命
17、题，若是，用符号表示，并判断其真假(1)对任意实数，有 sin2cos21；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数 a，b，方程 axb0 都有唯一解；(4)存在实数 x0，使得1x20 x012.解：(1)是全称命题，用符号表示为“R，sin2cos21”，是真命题(2)是特称命题，用符号表示为“直线 l，l 的斜率不存在”，是真命题；(3)是全称命题，用符号表示为“a，bR，方程 axb0 都有唯一解”，是假命题(4)是特称命题，用符号表示为“x0R，1x20 x012”，是假命题12(1)若全称命题“任意 x1，)，x22ax20恒成立”为真命题，求 a 的取值范围；(2)若特称命题“存在 x0R，使 log2(ax20 x02)0”为真命题，求 a 的取值范围解：(1)当 x1，)时，x22ax20 恒成立，等价于二次函数 yx22ax2 的图象在 x 轴的上方，只需满足 0 或0，a1，f10，即 4a280 或4a280，a1，2a30，所以 2a 2或32a 2，所以 a 的取值范围是32，2)(2)log2(ax20 x02)00ax20 x021，即存在 x0R，使 0ax20 x021 成立当 a0 时，2x00，4a10，或a0，8a10，即 0a14或 a0.综上所述，a14，即所求 a 的取值范围是(，14)