1、第15课时 直线与抛物线的位置关系 新知识预习探究知识点一直线与抛物线的位置关系及判定 位置关系公共点判定方法相交有 1 或 2 个公共点k0 或k00相切有 1 个公共点0相离无公共点0联立直线与抛物线方程，得到一个一元二次方程，记判别式为【练习 1】过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条D不存在解析：由定义|AB|527，|AB|min4，这样的直线有且仅有两条答案：B知识点二有关弦长问题1.一般弦长设P1x1，y1，P2x2，y2|P1P2|1k2|x1x2|P1P2|1 1k2
2、|y1y2|2焦点弦长若 AB 为抛物线 y22px(p0)的一条过焦点 F 的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|AF|BF|x1x2p.【练习 2】过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1x26，则|AB|()A8 B10C6 D4解析：y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.故选 A.答案：A新视点名师博客对抛物线的焦半径与焦点弦的认识抛物线上一点与焦点 F 连线得到的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦求抛物线的焦半径和焦点弦长
3、一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决设抛物线上任意一点 P(x0，y0)，焦点弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长公式如下：新课堂互动探究考点一直线与抛物线的位置关系 例 1 若直线 l：y(a1)x1 与曲线 C：y2ax 恰好有一个公共点，试求实数 a 的取值集合分析：将直线方程与抛物线方程联立，消去 y 后化为关于 x 的方程，其中二次项系数含参，分类讨论方程有一解时 a 的取值解析：因为直线 l 与曲线 C 恰好有一个公共点，所以方程组ya1x1y2ax有唯一一组实数解消去 y
4、，得(a1)x12ax，整理得(a1)2x2(3a2)x10(1)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元一次方程，解得 x1，这时，原方程组有唯一解x1y1.(2)当 a10，即 a1 时，方程是关于 x 的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得 a0 或 a45.当 a0 时，原方程组有唯一解x1y0；当 a45时，原方程组有唯一解x5y2.综上，实数 a 的取值集合是1，45，0.点评：判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二项系数是否为0.若该方程为二次方程，利用判别式判断方程解的个数变式探究
5、1 直线 l：ykx1，抛物线 C：y24x，当 k 为何值时，l 与 C 有：(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点解析：将 l 和 C 的方程联立得ykx1，y24x，消去 y，得 k2x2(2k4)x10.(*)当 k0 时，方程(*)只有一个解，x14，y1.直线 l 与 C 只有一个公共点14，1，此时直线 l 平行于 x 轴当 k0 时，方程(*)是一个一元二次方程：(1)当 0，即 k1，且 k0 时，l 与 C 有两个公共点，此时称直线 l 与 C 相交(2)当 0，即 k1 时，l 与 C 有一个公共点，此时称直线 l 与 C相切(3)当 0，即 k1 时，l
6、与 C 没有公共点，此时称直线 l 与 C相离综上所述，当 k1 或 k0 时，直线 l 与 C 有一个公共点；当 k1，且 k0 时，直线 l 与 C 有两个公共点；当 k1 时，直线 l 与 C 没有公共点.考点二焦点弦问题例 2 已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的弦长为 36，求弦所在的直线方程分析：弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为 36，所以可判断直线的斜率存在且不为 0，只需求出直线的斜率即可解析：过焦点的弦长为 36，弦所在直线的斜率存在且不为零故可设弦所在直线斜率为 k.且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点抛物线 y24x 的焦点 F(1,0)，直线
7、的方程为 yk(x1)由ykx1y24x整理得，k2x2(2k24)xk20(k0)x1x22k24k2.|AB|AF|BF|x1x222k24k22.又|AB|36，2k24k2236，k 24.所求直线方程为 y 24(x1)或 y 24(x1)点评：对于抛物线的焦点弦，应熟悉一些常见的结论，并可直接应用于选择题和填空题的解答，如，设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点F 的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)(A，B 点为直线与抛物线的交点)，则有：y1y2p2；x1x2p24；|AB|x1x2p 2psin2(为 AB 的倾斜角)变式探究 2 抛物线的顶点在原点，以 x
8、轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线的方程解析：如图，依题意可设抛物线方程为y22px(p0)，则直线方程为 yx12p.设直线交抛物线于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得|AB|AF|FB|AC|BD|x1p2x2p2，即 x1x2p8.又 A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，由 yx12py22px，消去 y 得 x23pxp24 0，x1x23p，将其代入得 p2，所求抛物线方程为 y24x.当抛物线方程设为 y22px(p0)时，同理可求得抛物线方程为 y24x.抛物线方程为 y24x 或 y24x.
9、考点三弦中点问题例 3 已知抛物线 y22x，过点 Q(2,1)作一条直线交抛物线于 A，B 两点，试求弦 AB 的中点的轨迹方程分析：解答本题利用点差法或根与系数关系的方法，寻找等量关系解析：方法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点为 M(x，y)，则 y1y22y，kABy1y2x1x2y1x2.y212x1，y222x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，2yy1y2x1x22，即 2yy1x22.即y122x74.当 ABx 轴时，AB 中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为y122x74.方法二：设直线 AB 的方程为 y1k(x2)，
10、由y1kx2，y22x，得k2y2y12k0.由已知可知k00 恒成立设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为 P(x，y)，y1y22k，y1y2212kk，x1x212(y21y22)12(y1y2)22y1y2124k2412kk22k4k2k2，xx1x222k2k1k2，yy1y221k，消去参数 k，得：y122x74.当 ABx 轴时，AB 中点为(2,0)，适合上式，故所求轨迹方程为y122x74.点评：处理中点问题的基本方法是点差法，根与系数关系的方法，直线与抛物线联立时消 y 有时更简捷些，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解，一般地，已知抛物线 y22
11、px(p0)上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)及 AB 中点 P(x0，y0)，则有 KABpy0.变式探究 3 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 yx 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2,2)为 AB 的中点，求抛物线 C 的方程解析：设抛物线的方程为 y2ax(a0)，由方程组y2axyx得交点为 A(0,0)，B(a，a)，而点 P(2,2)是 AB 的中点，从而有 a4，故所求抛物线的方程为 y24x.考点四抛物线中的定点、定值等综合问题例 4 A、B 是抛物线 y22px(p0)上的两点，并满足 OAOB，求证：(1)A、B 两点的横坐标之积
12、、纵坐标之积，分别都是一个定值；(2)直线 AB 经过一个定点分析：设所求抛物线方程 联立方程组 消元得关于x的方程 0 利用根与系数的关系 由OAOB列方程 求出b、p关系式 得证证明：(1)因为 AB 斜率不为 0，设直线 AB 方程为 myxb，由myxby22px消去 x，得 y22pmy2pb0，由(2pm)28pb0又y1y22pm，y1y22pb.又OAOB，x1x2y1y20.y21y224p2 y1y20，b22pb0，b2p0，b2p.y1y24p2，x1x2b24p2.所以 A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别是 4p2 和4p2.(2)AB 方程为 myx2p，所
13、以 AB 过定点(2p,0)点评：在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化变式探究 4 如图，过抛物线 y2x 上一点 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB，AC 交抛物线于 B、C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值 证明：设 kABk(k0)，直线 AB，AC 的倾斜角互补，kACk(k0)，AB 的方程是 yk(x4)2.由方程组ykx42，y2x，消去 y 后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解4xB16k216k
14、4k2，即 xB4k24k1k2，以k 代换 xB 中的 k，得 xC4k24k1k2，kBCyByCxBxCkxB42kxC42xBxCkxBxC8xBxCk8k22k288kk214.所以直线 BC 的斜率为定值辨错解走出误区易错点 忽略直线斜率为 0 或直线斜率不存在的情况而致错在解直线与抛物线的位置关系时，往往直接把直线方程设成点斜式方程，这样就把范围缩小了，应先看斜率不存在的情况是否符合要求，直线斜率为 0 的情况也容易被忽略，所以解决这类问题时特殊情况要优先考试【典例】求过定点 P(0,1)，且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程错解：设直线方程为 ykx1，由ykx1，y
15、22x，得 k2x22(k1)x10.当 k0 时，解得 y1，即直线 y1 与抛物线只有一个公共点；当 k0 时，4(k1)24k20，解得 k12，即直线 y12x1 与抛物线只有一个公共点综上所述，所求的直线方程为 y1 或 y12x1.错因分析：在解决这类直线与抛物线位置关系的问题时，最容易丢掉斜率不存在或斜率为零的情况，画出草图是解决这类问题的有效方法正解：如图所示，若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x0，由x0，y22x得x0，y0，即直线 x0 与抛物线只有一个公共点若直线的斜率存在，则由错解可知，y1 或 y12x1 为所求的直线方程故所求的直线方程为 x0 或 y1 或 y12x1.