1、第2课时排列与组合考纲索引1. 排列与排列数.2. 组合与组合数.3. 组合数公式的性质.课标要求1. 理解排列、组合的概念.2. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3. 能利用排列与组合解决简单的实际问题.知识梳理1. 排列与排列数“排列”与“排列数”是两个不同的概念,“一个排列”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它是一件事情,只有元素与其排列顺序都相同的排列才是同一排列;“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数”,它是所有不同排列的个数,是一个数值.排列数公式,右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比前面一个少1
2、,最后一个是n-m+1,共个连续正整数相乘.当m,n较小时,可利用该公式计数;排列数公式还可表示成=,它主要有两个作用:一是当m,n较大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的排列数式子进行变形和论证时,写出这种形式更便于发现它们之间的规律.2. 组合与组合数“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组”,它是一件事情;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”,它是一个数值.组合数公式的推导要借助于排列数公式,公式,其分子的组成与排列数相同,分母是m个元素的全排列数.当m,n较小时,可利用该公式计数;组合数公式还可以表示成,它有两个作用:一
3、是当m,n较大时,可利用计算器计算阶乘数,二是对含字母的组合数式子进行变形和论证.3. 组合数公式有两个性质(1) ,该公式说明,从n个不同元素中取出m个元素与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系,实际上就是“取出的”与“留下的”是一一对应关系;(2) ,该公式说明,从a1,a2,an+1中取出m个元素的组合数可以分成两类:第一类含有元素a1,共个;第二类不含元素共个.基础自测指 点 迷 津排列、组合综合题解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素,或充分利用元素的性质进行分类、分布,再利用两个基本计数原理作最后处理.间接法对于较难直接解决的问题则可用间接法,但应做到不重不漏.分配问
4、题对于分配问题,解题的关键是搞清楚事件是否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的重复或遗漏.考点透析考向一有限制条件的排列问题例1甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数:(1)甲不在排头、乙不在排尾;(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位;(3)甲一定在乙的右端(可以不相邻).【审题视点】根据题目要求灵活运用直接法和间接法.【方法总结】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”;对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这
5、种方法称为“插空法”;对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有:位置优先法、元素优先法、间接计算法.变式训练1.4个男同学,3个女同学站成一排.(1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法?(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人,有多少种不同的排法?(4)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同的排法?(5)女同学从左到右按高矮顺序排,有多少种不同的排法?(3个女生身高互不相等)考向二组合问题例2某课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?(1
6、)只有一名女生;(2)两队长当选;(3)至少有一名队长当选;(4)至多有两名女生当选;(5)既要有队长,又要有女生当选.【审题视点】根据题目要求,正确的选择排列或组合,有些问题用间接法更方便.【方法总结】1.注意问题有无顺序要求,一般有序问题用排列,无序问题用组合;2.有些复杂问题用直接法不好解决,往往选用间接法;3.均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序分组要除以均匀组数的阶乘数;还要考虑到是否与顺序有关,有序分组要在无序分组的基础上乘分组数的阶乘数.变式训练2.(2013重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名
7、内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是.考向三排列与组合的综合应用例3按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;(3)平均分成三份,每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三个人中,一人得4本,另外两人每人得1本;(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.【审题视点】综合运用排列与组合的知识解题.【方法总结】排列组合的综合题目,一般是先取出符合要求的元素组
8、合(分组),再对取出的元素排列,分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分组标准.变式训练3.(1)现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加南京青奥会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是;(2)给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n4时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种.(结果用数值表示)经典考题典例(2014浙江模拟)把座
9、位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至少一张,至多两张,且分得的两张票必须是连号,那么不同的分法种数为.(用数字作答)【解题指南】根据题意,先将票分为符合题意要求的4份,用隔板法易得其情况数目,再将分好的4份对应到4个人,由排列知识可得其情况数目,再由分步计数原理,计算可得答案.【解析】先将票分为符合条件的4份,由题意,4人分5张票,且每人至少一张,至多两张,则三人一张,1人2张,且分得的票必须是连号,相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开,分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子,共有种情况,再对应到4个人,有24种情况,则共有424=96
10、种情况.故答案为96.【答案】96真题体验1.(2014全国大纲)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有().A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种2.(2014北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有().A. 2人B. 3人C. 4人D. 5人3.(2014辽宁)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为().A. 144B. 120C. 72D. 244.(2014北京)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.5.(2014浙江)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种.(用数字作答)参考答案与解析 知识梳理 基础自测1.A2.C3.A4.1405.336考点透析变式训练3.(1)126(2)2143经典考题真题体验