1、2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面平行，则直线l与平面内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直于同一直线的两条直线平行A0B1C2D32如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，那么实数a等于（）A1B2C2或1D3函数f（x）=ex+2x3的零点所在的一个区间是（）A（）B（）C（）D（）4一个几何体的三视图如图所
2、示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）ABCD5若函数f（x）=ax+1在区间（1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1或a1D1a16过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）ABCD7在坐标平面内，与点A（2，1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A1条B2条C3条D4条8若圆锥的侧面展开图的圆心角为90，半径为r，则该圆锥的全面积为（）ABCD9如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以
3、下三个命题：OC平面PAC；MO平面PAC；平面PAC平面MON，其中正确的命题是（）ABCD10定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a1C12aD2a1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a0时，下列函数：y=ax+k；y=ax2+bx+c；y=alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可
4、）12如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）13若直线m被两条平行直线l1：xy+1=0与l2：2x2y+5=0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角等于14已知函数f（x）对任意的xR满足f（x）=f（x），且当x0时，f（x）=x2x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是15如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：异面直线AB与SC所成角为60；BC与平面SAB所成角的余弦值为；二面角SBCA的余弦值为，其中所有正确命题的序号为三、解答题：本大
5、题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2（1）求证：平面AA1C平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1ABC的体积V17如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点（1）求证：A1C平面BDE；（2）求二面角EBDA的正切值18某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）销售收入R（x）（万元）
6、满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？19在ABC中，A（2，1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0角B的平分线所在直线BT的方程为xy+2=0（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程20如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1（1）设FC的中点为M，求证：OM面DAF；（2）求证：AF面CBF21
7、设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴的交点为B，求AOB（O为坐标原点）面积的最小值2015-2016学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1下列命题中正确的个数是（）（1）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等（2）若直线l与平面平行，则直线l与平面内的直线平行或异面（3）夹在两个平行平面间的平行线段相等（4）垂直
8、于同一直线的两条直线平行A0B1C2D3【分析】根据空间中的平行与垂直关系，得出命题A、B、C正确，命题D错误【解答】解：对于（1），空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，命题（1）错误；对于（2），若直线l与平面平行，则直线l与平面内的直线平行或异面，根据线面平行的性质得到命题（2）正确；对于（3），夹在两个平行平面间的平行线段相等；命题（3）正确；对于（4），垂直于同一条直线的两个直线平行、相交或异面，命题（4）错误故正确的命题有2个；故选：C【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是基础题目2如果两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3
9、=0平行，那么实数a等于（）A1B2C2或1D【分析】两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，利用两条直线相互平行的充要条件即可得出【解答】解：两条直线l1：ax+2y+6=0与l2：x+（a1）y+3=0平行，直线l1的斜率存在，分别化为：y=x3，y=，3，解得a=1故选：A【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3函数f（x）=ex+2x3的零点所在的一个区间是（）A（）B（）C（）D（）【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案【解答】解：因为
10、f（）=0，f（1）=e10，所以零点在区间（）上，故选C【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解4一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图的都是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）ABCD【分析】根据三视图知几何体为一直四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积【解答】解：由三视图知几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱垂直于底面且侧棱长也为1，该四棱锥的体积为121=故选：B【点评】本
11、题考查了由三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是判断几何体的形状，是基础题5若函数f（x）=ax+1在区间（1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1或a1D1a1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（1）f（1）0，解不等式求得实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（1，1）上存在一个零点，则f（1）f（1）0，即 （1a）（1+a）0，解得a1或a1故选：C【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题6过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）ABCD【分析】由题意设出球的半径，圆M的半径，
12、二者与OM构成直角三角形，求出圆M的半径，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比【解答】解：设球的半径为R，圆M的半径r，由图可知，R2=R2+r2，R2=r2，S球=4R2，截面圆M的面积为：r2=R2，则所得截面的面积与球的表面积的比为：故选A【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，仔细体会，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口7在坐标平面内，与点A（2，1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有（）A1条B2条C3条D4条【分析】先求出线段AB的长度为10，等于5的2倍，故满足条件的直线有3条，其中有2条和线段AB平行，另一条是线段
13、AB的中垂线【解答】解：线段AB的长度为=10，故在坐标平面内，与点A（2，1）和点B（4，7）的距离均为5的直线共有3条，其中有2条在线段AB的两侧，且都和线段AB平行，另一条是线段AB的中垂线，故选 C【点评】本题考查两点间的距离公式的应用，线段的中垂线的性质，体现了分类讨论的数学思想8若圆锥的侧面展开图的圆心角为90，半径为r，则该圆锥的全面积为（）ABCD【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面周长求出圆锥底面半径【解答】解：圆锥的侧面积为，侧面展开图的弧长为=，设圆锥的底面半径为r，则2r=，r=圆锥的全面积S=+=故选：D【点评】本题考查了圆锥的结构特征，面积计算，属于基础题9如图，AB
14、为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M，N分别为线段PB，BC的中点，有以下三个命题：OC平面PAC；MO平面PAC；平面PAC平面MON，其中正确的命题是（）ABCD【分析】利用线面平行，面面平行的判定定理即可【解答】解：点M，N分别为线段PB，BC的中点，o为AB的中点，MOPA，ONAC，OMON=O，MO平面PAC；平面PAC平面MON，故正确；故选：C【点评】考查了线面平行，面面平行的判断，属于基础题型，应熟练掌握10定义在R上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）a（0a1）的所有零点之和为（）A12aB2a
15、1C12aD2a1【分析】函数F（x）=f（x）a（0a1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a的图象交点的横坐标作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案【解答】解：当x0时，f（x）=；即x0，1）时，f（x）=（x+1）（1，0；x1，3时，f（x）=x21，1；x（3，+）时，f（x）=4x（，1）；画出x0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）a=0共有五个实根，最左边两根之和为
16、6，最右边两根之和为6，x（1，0）时，x（0，1），f（x）=（x+1），又f（x）=f（x），f（x）=（x+1）=（1x）1=log2（1x），中间的一个根满足log2（1x）=a，即1x=2a，解得x=12a，所有根的和为12a故选：A【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：圆）与上市时间x（单位：天）的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90根据上表数据，当a0时，下列函数：y=ax+k；y=ax2+b
17、x+c；y=alogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是（只需写出序号即可）【分析】随着时间x的增加，y的值先减后增，结合函数的单调性即可得出结论【解答】解：随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y=ax+k和y=alogmx显然都是单调函数，不满足题意，y=ax2+bx+c故答案为：【点评】本题考查函数模型的选择，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，确定函数模型是关键12如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件ACBD或四边形ABCD为菱形时，有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有
18、可能的情况）【分析】由假设A1CB1D1，结合直四棱柱的性质及线面垂直的判定和性质定理，我们易得到A1C1B1D1，即ACBD，又由菱形的几何特征可判断出四边形ABCD为菱形，又由本题为开放型题目上，故答案可以不唯一【解答】解：若A1CB1D1，由四棱柱ABCDA1B1C1D1为直四棱柱，AA1B1D1，易得B1D1平面AA1BB1，则A1C1B1D1，即ACBD，则四边形ABCD为菱形，故答案为：ACBD或四边形ABCD为菱形【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，属于知识的考查，属于中档题13若直线m被两条平行直线l1：xy+1=0与l2：2x2y+5=0所截得的线段长为，则
19、直线m的倾斜角等于135【分析】由两平行线间的距离，得直线m和两平行线的夹角为90再根据两条平行线的倾斜角为45，可得直线m的倾斜角的值【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为，可得直线m 和两平行线的夹角为90由于两条平行线的倾斜角为45，故直线m的倾斜角为135，故答案为：135【点评】本题考查两平行线间的距离公式，两条直线的夹角公式，本题属于基础题14已知函数f（x）对任意的xR满足f（x）=f（x），且当x0时，f（x）=x2x+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（4，+）【分析】根据条件可判断函数为偶函数，则要使（x）有4个零点，只需当x0时，f（
20、x）=x2x+1=0有两不等正根，根据二次方程的根的判定求解【解答】解：对任意的xR满足f（x）=f（x），函数为偶函数，若f（x）有4个零点，当x0时，f（x）=x2x+1=0有两不等正根，=a40，a4【点评】考查了偶函数的应用和二次方程根的性质15如图，在棱长都相等的四面体SABC中，给出如下三个命题：异面直线AB与SC所成角为60；BC与平面SAB所成角的余弦值为；二面角SBCA的余弦值为，其中所有正确命题的序号为【分析】根据线面垂直性质可判断；根据公式cos=cos1cos2求解即可；找出二面角的平面角，利用余弦定理求解【解答】解：取AB中点M，易证AB垂直平面SMC，可得AB垂直S
21、C，故错误；易知BC在平面上的射影为ABC的角平分线，cos60=coscos30，cos=，故正确；取BC中点N，二面角为ANC，不妨设棱长为1，cosANC=，故正确，故答案为：【点评】考查了线面垂直，线面角，二面角的求法属于基础题型三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤、16如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2（1）求证：平面AA1C平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1ABC的体积V【分析】（1）证明BC平面AA1C，即可证明平面AA1C平面BA1C；（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可【
22、解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以ACBC因为AA1平面ABC，BC平面ABC，所以AA1BC，而ACAA1=A，所以BC平面AA1C又BC平面BA1C，所以平面AA1C平面BA1C（6分）（2）解：在RtABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，得，所以（12分）【点评】本题考查线面垂直的判定，考查平面与平面垂直，考查几何体A1ABC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点（1）求证：A1C平面BDE；（2）求二面角EBDA的正切值【分析】（1）连AC，设
23、AC与BD交于点O，连EO，则A1CEO，由此能证明A1C平面BDE（2）由BDAC，BDEO，得AOE是二面角EBDA的平面角，由此能求出二面角EBDA的正切值【解答】证明：（1）连AC，设AC与BD交于点O，连EO，E是AA1的中点，O是BD的中点，A1CEO，又EO面BDE，AA1面BDE，所以A1C平面BDE（6分）解：（2）由（1）知，BDAC，BDEO，AOE是二面角EBDA的平面角，在RtAOE中，tanAOE=二面角EBDA的正切值为（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18某产品生产厂家根据以往的
24、生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）销售收入R（x）（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入总成本）；（2）要使工厂有盈利，求产量x的范围；（3）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【分析】（1）由题意得G（x）=2.8+x由，f（x）=R（x）G（x），能写出利润函数y=f（x）的解析式（2）当0x5时，由f（x）=0.4x2+3.2x2.8
25、0，得1x5；当x5时，由f（x）=8.2x0，得5x8.2由此能求出要使工厂有盈利，产量x的范围（3）当x5时，由函数f（x）递减，知f（x）f（5）=3.2（万元）当0x5时，函数f（x）=0.4（x4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多【解答】解：（1）由题意得G（x）=2.8+x（2分），（4分）f（x）=R（x）G（x）=（6分）（2）f（x）=，当0x5时，由f（x）=0.4x2+3.2x2.80，得1x5；（7分）当x5时，由f（x）=8.2x0，得5x8.2要使工厂有盈利，求产量x的范围是（1，8.2）（8分）（
26、3）f（x）=，当x5时，函数f（x）递减，f（x）f（5）=3.2（万元）（10分）当0x5时，函数f（x）=0.4（x4）2+3.6，当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）（14分）所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元（15分）【点评】本题考查函数知识在生产实际中的具体应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化19在ABC中，A（2，1），AB边上的中线CM所在直线方程为3x+2y+1=0角B的平分线所在直线BT的方程为xy+2=0（1）求顶点B的坐标；（2）求直线BC的方程【分析】（1）设B（x0，y0），利用中点坐标公式可得：AB的
27、中点M，代入直线CM又点B在直线BT上，联立即可得出（2）设点A（2，1）关于直线BT的对称点的坐标为A（a，b），则点A在直线BC上，利用对称的性质即可得出【解答】解：（1）设B（x0，y0），则AB的中点M在直线CM上，所以+1=0，即3x0+2y0+6=0 （2分）又点B在直线BT上，所以x0y0+2=0 （4分）由得：x0=2，y0=0，即顶点B（2，0）（6分）（2）设点A（2，1）关于直线BT的对称点的坐标为A（a，b），则点A在直线BC上，由题意知，解得a=3，b=4，即A（3，4）（9分）因为kBC=4，（11分）所以直线BC的方程为y=4（x+2），即4x+y+8=0（12分
28、）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且ABEF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1（1）设FC的中点为M，求证：OM面DAF；（2）求证：AF面CBF【分析】（1）先证明OMAN，根据线面平行的判定定理即可证明OM面DAF；（2）由题意可先证明AFCB，由AB为圆O的直径，可证明AFBF，根据线面垂直的判定定理或面面垂直的性质定理即可证明AF面CBF【解答】解：（1）设DF的中点为N，连接MN，则MNCD，MN=CD，又AOCD，
29、AO=CD，MNAO，MN=AO，MNAO为平行四边形，OMAN又AN面DAF，OM面DAF，OM面DAF（2）面ABCD面ABEF，CBAB，CB面ABCD，面ABCD面ABEF=AB，CB面ABEFAF面ABEF，AFCB又AB为圆O的直径，AFBF，又CBBF=B，CB，BF面CBFAF面CBF【点评】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题21设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（2）若l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（3）若l与x轴正半轴的交点为A，与y轴负半轴
30、的交点为B，求AOB（O为坐标原点）面积的最小值【分析】（1）对a分类讨论，利用截距式即可得出；（2）y=（a+1）x+a2，由于l不经过第二象限，可得，解出即可得出（3）令x=0，解得y=a20，解得a范围；令y=0，解得x=0，解得a范围求交集可得：a1利用SAOB= （a2），变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）若2a=0，解得a=2，化为3x+y=0若a+1=0，解得a=1，化为y+3=0，舍去若a1，2，化为： +=1，令=a2，化为a+1=1，解得a=0，可得直线l的方程为：x+y+2=0（2）y=（a+1）x+a2，l不经过第二象限，解得：a1实数a的取值范围是（，1（3）令x=0，解得y=a20，解得a2；令y=0，解得x=0，解得a2或a1因此，解得a1SAOB=|a2|=3+3+=6，当且仅当a=4时取等号AOB（O为坐标原点）面积的最小值是6【点评】本题考查了直线的方程、不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题