1、1.2数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识自主学习导思1. 如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在1,+)上单调递增,那么数列an=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列an,如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即an+1an(nN+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列an,如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即an+10,所以an为递增数列
2、.3.数列an中,an=-n2+11n,则此数列最大项的值是()A.B.30C.31D.32【解析】选B.an=-n2+11n=-+,因为nN+,所以当n=5或6时,an取最大值30.关键能力合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列an中,an=n2-8n,(1)画出an的图像.(2)根据图像判定数列an的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n123456789an-7-12-15-16-15-12-709描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列an的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-
3、12),(7,-7),(8,0),(9,9),图像如图所示.(2)数列an的图像既不是上升的,也不是下降的,则an既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,an)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)an=(-1)n+2;(2)an=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.
4、(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度1数列增减性的判断【典例】1.已知数列an的通项公式为an=,按项的变化趋势,该数列是() A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x1),构造数列an=f(n)(nN+).(1)求证:an-2.(2)数列an是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算an+1-an,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为an+1-an=-=0,所以an+10.所以an=-2+-2.(2)数列an是递减数列,证明如下:因为an=,an+1=,所以an+1-a
5、n=-=0,所以an+1an,所以数列an是递减数列.如果an为递增数列,则an的通项公式可以为()A.an=-2n+3B.an=-n2-3n+1 C.an=D.an=log2 n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2数列增减性的应用【典例】(2020贵阳高一检测)若数列的通项公式是an=(n+1)0.9n,对于任意的正整数n都有anaN成立,则N为()A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10【思
6、路导引】作差判断数列的单调性,得到当nan,数列单调递增;当n8时,an+1an,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.an+1-an=(n+2)0.9n+1-(n+1)0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,an+1-an=0,当n0,当n8时,an+1-an0.所以当nan,数列单调递增;当n8时,an+1a2a10=a11a12,所以数列an没有最大项.2.已知数列an的通项公式为an=2n0.9n,求数列an中的最大项.【解析】设an是数列an中的最大项,则即所以所以即9n10,所以当n=9或n=10时,an最大,最大项a9=a10=2100.9
7、10=200.910.3.在数列an中,an=(n+1)(nN+).(1)求证:数列an先递增,后递减;(2)求数列an的最大项.【解析】(1)因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an.所以a1a2a3a11a12,所以数列an先递增,后递减.(2)由(1)可知数列中有最大项,最大项为第9,10项,即a9=a10=.课堂检测素养达标1.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,B.sin ,sin ,sin,sin ,C.-1,-,-,-,D.1,2,3,4,30
8、【解析】选C.数列1,是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,是无穷数列,也是递增数列;数列1,2,3,4,30是递增数列,但不是无穷数列.2.已知数列an的通项公式是an=,则这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选B.数列an的通项公式是an=1+,则当nN+时为递减数列.3.数列an的通项公式为an=n2-6n,则它的最小值是.【解析】an=n2-6n=(n-3)2-9,所以当n=3时,an取得最小值-9.答案:-94.已知递增数列an的通项公式为an=2kn+1,则实数k的取值范围是.【解析】因为an单调递增,所以an+1-an=2k(n+1)+1-(2kn+1)=2k0,所以k0.答案:(0,+)5.(教材二次开发:习题改编)数列an满足an+1=-2an,若an单调递增,则首项a1的范围是.【解题指南】先表示出an+1-an,再结合an单调递增可求首项a1的范围.【解析】因为an+1=-2an,所以an+1-an=-3an0,解得an3或an3或a13或-2a13或a1-1(0a12舍去).答案:(-,-1)(3,+)