1、专题2：函数的图象与性质班级 姓名 一、前测训练1求下列函数的值域：（1）ysin(2x) x0， （2）y （3）yx（4）f(x)()xx，x1，2 （5）f(x)x2 （6）f(x)xlnx答案：（1），1；（2）(1，1；（3）(，；（4），3；（5）21，)； （6），).2（1）f(x)x()的奇偶性为 （2）若f(x)为奇函数，则a的值为 答案：（1）偶函数；（2）3（1）函数f(x)的增区间为 ； (2)f(x)log(x22x)的增区间为 ；(3)f(x)lnx2x2的减区间为 答案：（1）(，1)和(1，)；（2）(，0)；（3）(，) 4(1)若f(x)是R上的奇函数，且
2、当x0时，f(x)1，则f(x) （2）若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(，0上是减函数，且f(2)=0，则f(x)0的x的取值范围是 答案：（1）；（2）(2，2).5设f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，(1)则f(7.5) ；(2)当x4，6时，f(x) 答案：（1）；（2）6（1）已知函数f(x)ln(2x1)，将函数yf(x)图象向右平移2个单位后的解析式为 与函数yf(x)图象关于y轴对称的函数解析式为 （2）方程xm有一个实数解，则m的取值范围为 答案：（1）yln(2x3)；yln(12x)；（2）1，1).7（1）若函数ylog2(x2)
3、的图象与yf(x)的图象关于x1对称，则f(x)= （2）已知f(x)log2|ax3|关于x1对称，则实数a 则实数a 答案：（1）log2(4x)；（2）0或3二、方法联想1值域求法（1）单调性法；（2）基本不等式法；（3）部分函数有界性法；（4）判别式法注意：单调性法是最基本最一般的方法，配方、换元等是变形的手段 变式1、若函数的值域是则实数的取值范围是 . 答案：(分段函数的值域是各段函数值域的并集)变式2、定义为中的最小值，设，则的最大值是_答案：2（数形结合求值域)变式3、函数的值域为_答案：（构造图像求值域）2判断函数奇偶性方法1 定义法；方法2 图象法优先考虑用图象法，定义法前
4、先判断定义域但证明奇偶性只能用定义法已知函数奇偶性方法1 若函数为奇函数且0在定义域内，用f(0)0；方法2 利用特殊值法；方法3 利用定义 优先用方法1，再用方法2，注意检验但如果是解答题，必须用定义证明其奇偶性 变式1、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=.答案：-3（已知函数奇偶性求值） 变式2、已知为非零常数,满足,则 . (熟悉常见函数的奇偶性)3判断函数单调性方法1 导数法；方法2 定义法；方法3组合函数法；方法4 复合函数法 判断函数的单调性优先考虑定义域，方法选择可先考虑组合函数法，再考虑复合函数法，关键时候用导数法，别
5、忘了定义法 注意：单调性证明只能用导数法和定义法变式1、设函数,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 答案：(注意单调性的不同表现形式,数形结合)变式2、已知函数.若，则的取值范围是.答案：（分段函数的奇偶性、单调性结合）4奇偶性、单调性应用处理函数问题，如最值、解不等式、图象等，可分析函数的奇偶性，判断函数的单调性，其中奇(偶)函数y轴两侧单调性口诀：奇同偶反变式1、若是偶函数,则 .答案: (应用定义代数运算)变式2、已知函数则满足的的取值范围是 .(函数解析式隐含函数性质)5奇偶性、对称性、周期性的综合常用结论： 如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(
6、xT) f(x)，则称f(x)为周期函数 若函数满足f(xa)f(x)，则f(x)的周期为2a 若函数满足f(xa) ，则f(x)的周期为2a若函数满足f(xa) ，则f(x)的周期为2a变式1、设是定义在上的周期为2的函数，当时， 则 .答案：0(转化到已知范围内)变式2：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x4)f(x)对一切实数x都成立，若f(1)0，则关于x的方程f(x)0在0，10上的解的个数为_（函数的周期性与奇偶性结合）答案：116函数图象变换 (一) 平移变换； (二) 对称变换处理函数问题优先考虑函数的图象，即数形结合法作函数图象时，先考虑用图象变换法转化为基本函数问题我
7、们也可以由函数的图象分析函数的性质(或值域)，反过来要考虑函数的性质对函数作图的作用变式1、已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.答案： (图形对称) 变式2、定义域为的函数满足，当时，则 答案： （函数周期性的拓展）7图象的对称问题 方法1 相关点法；方法2 特殊值法 常用结论：若函数满足f(ax)f(bx)，则f(x)图象关于直线x 对称若函数满足f(ax)f(bx)m，则f(x)图象关于点(，)对称函数yf(ax)与函数 yf(ax) 图象关于直线x0即y 轴对称函数yf(ax)与函数 yf(ax) 图象关于点(0，0)及坐标原点对
8、称变式1、已知是定义在上的函数，满足，当时，则函数的最小值为（ ）答案： （运用函数周期性求函数的最小值）变式2、设函数是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数 满足不等式组那么的取值范围是 .答案：(13,49)(题意转化,数形结合)三、例题分析例1.已知函数f(x)（1）当ab1时，求满足f(x)3x的x的取值范围；（2）若yf(x)的定义域为R，又是奇函数，求yf(x)的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明.解：（1）x的取值范围为(，1（2）f (x)(1). f (x) 在R上单调递减.【教学建议】1.本题考查指数函数的单调性、函数的奇偶性.第一问中涉及指数不等式的解法
9、，第二问涉及等式恒成立问题.2.本题的易错点是第二问中忽视由“f(x)的定义域为R”所得到的“b0”的条件.3.单调性是函数在其定义域上的局部性质，它往往与不等式相结合，应用时要看清函数的单调区间.4.判断函数的单调性的常用方法有：能画出图象的一般用数形结合法去观察；由基本初等函数通过加减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性判断问题；对于解析式较复杂的一般用导数法；对于抽象函数的一般用定义法.例2. 已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)（1）若a1，作函数f(x)的图象；（2）设f(x)在区间1，2上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；（3）设h(x)，若函数h(
10、x)在区间1，2上是增函数，求实数a的取值范围解：（1）作图象如右图所示（2）g(a)（3）实数a的取值范围为【教学建议】1.本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问中二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，既可等价转化为h(x)0对于任意的x1，2恒成立来解决，也可以用定义法来解决2.求二次函数在某段区间上的最值时，要利用好图象，特别是含参数的两种类型：“定轴动区间、定区间动轴”的问题，要抓住“三点一轴”，“三点”指区间的两个端点和区间的中点，“一轴”指的是抛物线的对称轴.3.本题的易错点有三个，一是第（2）问
11、中容易遗漏“a0”的情况；二是第三问用导数解决函数的单调性问题时，误将“h(x)a0在1，2上恒成立”写成“h(x)a0在1，2上恒成立”；三是无论用导数还是单调性的定义，都忽视了“a0”的情形.例3.设n为正整数，规定：fn(x)fff(x)，已知f(x).（1）解不等式f(x)x；（2）设集合A0，1，2，对任意xA，证明：f3(x)x；（3）探求f2 014；（4）若集合Bx|f12(x)x，x0，2，证明：B中至少包含有8个元素解：（1）解集为.（2）证明：f(0)2，f(1)0，f(2)1，当x0时，f3(0)f(f(f(0)f(f(2)f(1)0；当x1时，f3(1)f(f(f(1
12、)f(f(0)f(2)1；当x2时，f3(2)f(f(f(2)f(f(1)f(0)2.即对任意xA，恒有f3(x)x.（3）.（4）由（1）知，f，fn.则f12.B.由（2）知，对x0，或1，或2，恒有f3(x)x，f12(x)f43(x)x.则0，1，2B.由（3）知，对x，恒有f12(x)f43(x)x，B.综上所述，0，1，2，B.B中至少含有8个元素【教学建议】1.本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识并直接套用，第三问则需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律2.形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则；对于分段函数的求值（解不等
13、式）问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.3.自定义问题是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，它要求在短时间内通过阅读、理解，解决题目给出的问题.解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从新定义中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决.4.周期性是函数在定义域上的整体性质，本题体现的是函数值的周期性.四、反馈练习(专题2：函数的图象与性质)1.函数的定义域为 ；答案 (考查函数的定义域).2.已知函数为奇函数，且当时，则 ；答案 (考查函数的奇偶性).3.已知偶函数在单调递减，若则的取值范围是 ；答案 (考查函数的奇偶性和单调性).4.设奇函数满足对任意都有
14、且时，则 ；答案 (考查函数图像的对称性).5.已知函数在（1,2）上单调递增，则实数的取值范围是 ；答案 (考查复合函数的单调性).6.函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 ；答案 (考查函数图像的对称性,函数零点).7. 已知函数对任意满足，且当时，若有4个零点，则实数的取值范围是 ；答案 (考查函数图像的对称性,函数零点).8.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是 ；答案 (考查函数的奇偶性和单调性).9.已知函数是的减函数，那么的取值范围是 ；答案 (考查分段函数的单调性).10.若不等式在时恒成立,则实数的取值范围为 .答案 (考查函数图像,不等式恒成立
15、).11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值为 ；答案 (考查分段函数,函数的周期性).12已知函数 (a是常数且a0)对于下列命题：函数f(x)的最小值是1；函数f(x)在R上是单调函数；若f(x)0在上恒成立，则a的取值范围是(1，)；对任意的x10，x20且x1x2，恒有f其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号)答案(考查分段函数的单调性,函数图像).13.已知函数是定义在上的单调递增奇函数，若当时，恒成立，求实数的取值范围.答案 (考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).14. 已知函数，其中为自然对数的底.（1）判断函数的奇偶性与单调性；（2）是否存在实
16、数，使不等式对一切都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.答案 (1)奇函数，单调增；（2）.(考查函数的奇偶性和单调性,不等式恒成立).15.已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围解(1)当a时，f(x)x2，在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，3a0.当00，a3.01时，f(x)在1，上为减函数，在(，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值是f(
17、)22，220，显然成立综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3，) (考查函数的单调性,不等式恒成立).16.设函数(a0且a1)是奇函数(1)求k的值；(2)若f(1)0，解关于x的不等式f(x22x)f(x4)0；(3)若f(1)，且在1，)上的最小值为2，求m的值解(1)因为f(x)是奇函数，且f(0)有意义，所以f(0)0，所以k10，k1.(2)因为f(1)0，所以a0，a1，f(x)axax是R上的单调增函数于是由f(x22x)f(x4)f(4x)，得x22x4x，即x23x40，解得x4或x1.(3)因为f(1)，所以a，解得a2(a0)，所以g(x)22x22x2m(2x2x)(2x2x)22m(2x2x)2.设tf(x)2x2x，则由x1，得tf(1)，g(x)t22mt2(tm)22m2.若m，则当tm时，ymin2m22，解得m2.若m，则当t时，ymin3m2，解得m(舍去)综上得m2.(考查函数的奇偶性和单调性).