1、北京市西城区2012 2013学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2013.1第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合，则（ ）（A）（B）（C）（D）2复数（ ）（A）（B）（C）（D）3执行如图所示的程序框图，则输出（ ） （A）（B）（C）（D）4函数的零点个数为（ ）（A）（B）（C）（D）5某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （A） （B） （C） （D）6过点作圆的两条切线，为切点，则（ ）（A）（B）（C）（D）7设等比数列的公比为，前项和为则“”是“”的（ ）（A）充分
2、而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件8已知函数的定义域为若常数，对，有，则称函数具有性质给定下列三个函数： ； ； 其中，具有性质的函数的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知向量，若向量与共线，则实数_10平行四边形中，为的中点若在平行四边形内部随机取一点，则点取自内部的概率为_11双曲线的渐近线方程为_；离心率为_12若函数是奇函数，则_ 13已知函数，其中当时，的值域是_；若的值域是，则的取值范围是_ 14设函数，集合，且在直角坐标系中，集合所表示的区域的面积为_三、
3、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）在中，内角的对边分别为，且（）求角的值； （）若，求的面积16（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于至之间将数据分成以下组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检（）求每组抽取的学生人数；（）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率17（本小题满分14分）如图，直三棱柱中，分别为，的中点（）求
4、线段的长； （）求证：/ 平面； （）线段上是否存在点，使平面？说明理由18（本小题满分13分）已知函数，其中（）若是的一个极值点，求的值；（）求的单调区间19（本小题满分14分）如图，是椭圆的两个顶点，直线的斜率为（）求椭圆的方程；（）设直线平行于，与轴分别交于点，与椭圆相交于证明：的面积等于的面积20（本小题满分13分）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积令（）对如下数表，求的值；（）证明：存在，使得，其中；（）给定为奇数，对于所有的，证明： 北京市西城区2012 2013学年度第一学期期末
5、高三数学（文科）参考答案及评分标准 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1B； 2A； 3C； 4B； 5C； 6D； 7A； 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11，； 12； 13，； 14注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：由已知得 ， 2分 即 解得 ，或 4分因为 ，故舍去 5分所以 6分 （）解：由余弦定理得 8分将，代入上式，整理得因为 ， 所以 11分所以 的面积 13分16（本小题满分1
6、3分）（）解：由频率分布直方图知，第，组的学生人数之比为 2分所以，每组抽取的人数分别为： 第组：；第组：；第组：所以从，组应依次抽取名学生，名学生，名学生 5分（）解：记第组的位同学为，；第组的位同学为，；第组的位同学为 6分 则从位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为： ，共种可能 10分其中，这11种情形符合2名学生不在同一组的要求 12分故所求概率为 13分17（本小题满分14分）（）证明：连接 因为 是直三棱柱， 所以 平面， 1分 所以 2分 因为 ， 所以 平面 3分因为 ，所以 4分（）证明：取中点，连接， 5分在中，因为 为中点，所以， 在矩形中，因为 为中点，所以， 所以
7、 ， 所以 四边形为平行四边形，所以 7分 因为 平面，平面， 8分 所以 / 平面 9分 （）解：线段上存在点，且为中点时，有平面 11分证明如下：连接在正方形中易证 又平面，所以 ，从而平面12分所以 13分同理可得 ，所以平面故线段上存在点，使得平面 14分18（本小题满分13分）（）解： 2分依题意，令，得 4分经检验，时符合题意 5分（）解： 当时， 故的单调减区间为，；无单调增区间 6分 当时， 令，得， 8分和的情况如下：故的单调减区间为，；单调增区间为11分 当时，的定义域为 因为在上恒成立，故的单调减区间为，；无单调增区间13分19（本小题满分14分）（）解：依题意，得 2分
8、解得 ， 3分所以 椭圆的方程为 4分（）证明：由于/，设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 6分 设，所以 8分证法一：记的面积是，的面积是由， 则 10分因为 ，所以 ， 13分从而 14分证法二：记的面积是，的面积是则线段的中点重合 10分因为 ，所以 ，故线段的中点为 因为 ，所以 线段的中点坐标亦为 13分从而 14分20（本小题满分13分）（）解：，；， 所以 3分（）证明：（）对数表：，显然将数表中的由变为，得到数表，显然将数表中的由变为，得到数表，显然依此类推，将数表中的由变为，得到数表即数表满足：，其余所以 ，所以 ，其中7分【注：数表不唯一】（）证明：用反证法 假设存在，其中为奇数，使得 因为， ， 所以，这个数中有个，个 令 一方面，由于这个数中有个，个，从而 另一方面，表示数表中所有元素之积（记这个实数之积为）；也表示， 从而 、相互矛盾，从而不存在，使得 即为奇数时，必有 13分