1、基础诊断考点突破课堂总结第2讲 基本不等式及其应用 基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理 1.基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号.(3)其中_称为正数 a，b 的算术平均数，_称为正数 a，b 的几何平均数.abab2ab基础诊断考点突破课堂总结2.几个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(3)a2b22ab22(a，bR)，当
2、且仅当 ab 时取等号.(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号.2ab基础诊断考点突破课堂总结3.利用基本不等式求最值已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最小值是_(简记：积定和最小).(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当_时，xy 有最大值是_(简记：和定积最大).xy2 pxys24基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)当 a0，b0 时，ab2 ab.()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的.()(3)函数 yx1x的最小值是 2.
3、()(4)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为 2.()(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件.()基础诊断考点突破课堂总结解析(2)不等式 a2b22ab 成立的条件是 a，bR；不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0.(3)函数 yx1x值域是(，22，)，没有最小值.(4)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为5.(5)x0 且 y0 是xyyx2 的充分条件.答案(1)(2)(3)(4)(5)基础诊断考点突破课堂总结2.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为()A.80B.77C.81D.82 解析 xyxy2281，当且仅当 xy9 时等号成立，
4、故选 C.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结3.(2015福建卷)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于()A.2 B.3 C.4 D.5解析 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a1b1.所以 ab(ab)1a1b 2abba 22abba4，当且仅当 ab2 时取“”，故选 C.答案 C 基础诊断考点突破课堂总结解析 当 x2 时，x20，f(x)(x2)1x222（x2）1x224，当且仅当 x2 1x2(x2)，即 x3 时取等号，即当 f(x)取得最小值时，即 a3，选 C.答案 C4.若函数 f(x)x 1x2(x2)在 xa 处取最
5、小值，则 a 等于()A.1 2B.1 3C.3 D.4基础诊断考点突破课堂总结5.(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，则 这 个 矩 形 的 长 为 _m，宽 为_m时菜园面积最大.解析 设矩形的长为 x m，宽为 y m.则 x2y30，所以 Sxy12x(2y)12x2y222252，当且仅当 x2y，即 x15，y152 时取等号.答案 15 152基础诊断考点突破课堂总结考点一 配凑法求最值【例 1】(1)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；(2)求函数 yx1x3 x1的最大值.解(1)因为 x54，所以 54x0，则 f(
6、x)4x214x554x154x 32（54x）154x3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立.故 f(x)4x214x5的最大值为 1.基础诊断考点突破课堂总结(2)令 t x10，则 xt21，所以 ytt213ttt2t4.当 t0，即 x1 时，y0；当 t0，即 x1 时，y1t4t1，因为 t4t2 44(当且仅当 t2 时取等号)，所以 y1t4t115，即 y 的最大值为15(当 t2，即 x5 时 y 取得最大值).基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应
7、用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)(2017湖北重点中学一联)若对x1，不等式x 1x11a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.(2)函数 yx22x1(x1)的最小值为_.解析(1)因为函数 f(x)x1x1 在1，)上单调递增，所以函数 g(x)x1 1x12 在0，)上单调递增，所以函数 g(x)在1，)的最小值为 g(1)12，因此对x1 不等式 x 1x11a恒成立，所以 ag(x)最小值12，故实数
8、 a 的取值范围是，12.基础诊断考点突破课堂总结(2)yx22x1（x22x1）（2x2）3x1（x1）22（x1）3x1(x1)3x122 32.当且仅当 x1 3x1，即 x 31 时，等号成立.答案(1)，12 (2)2 32基础诊断考点突破课堂总结考点二 常数代换或消元法求最值(易错警示)【例 2】(1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值为_；(2)(2017南昌模拟)已知 x0，y0，x3yxy9，则 x3y 的最小值为_.解析(1)法一 由 x3y5xy 可得 15y 35x1，3x4y(3x4y)15y 35x 95453x5y12y5x 135 125
9、5(当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5.基础诊断考点突破课堂总结法二 由 x3y5xy，得 x 3y5y1，x0，y0，y15，3x4y 9y5y14y13y15 95454y5y154y135 9515y154y15 135 236255，当且仅当 y12时等号成立，(3x4y)min5.基础诊断考点突破课堂总结(2)由已知得 x93y1y.法一(消元法)因为 x0，y0，所以 0y3，所以 x3y93y1y 3y 121y3(y1)62121y3（y1）66，当且仅当 121y3(y1)，即 y1，x3 时，(x3y)min6.基础诊断考点
10、突破课堂总结法二 x0，y0，9(x3y)xy13x(3y)13x3y22，当且仅当 x3y 时等号成立.设 x3yt0，则 t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当 x3，y1 时，(x3y)min6.答案(1)5(2)6 基础诊断考点突破课堂总结规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.易错警示(1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2
11、)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)已知 x0，y0 且 xy1，则8x2y的最小值为_.(2)(2016西安模拟)已知正数 x，y 满足 x2yxy0，则 x2y的最小值为()A.8 B.4 C.2 D.0解析(1)(常数代换法)因为 x0，y0，且 xy1，所以8x2y8x2y(xy)108yx 2xy 1028yx 2xy 18，当且仅当8yx 2xy，即 x2y 时等号成立，所以当 x23，y13时，8x2y有最小值 18.基础诊断考点突破课堂总结(2)由 x2yxy0，得2x1y1，且 x0，y0.x2
12、y(x2y)2x1y 4yx xy4448.答案(1)18(2)A基础诊断考点突破课堂总结考点三 基本不等式在实际问题中的应用【例 3】运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)设所用时间为 t130 x(h)，y130 x 22 x2360 14130 x，x50，100.基础诊断考点突破课堂总结所以，这次行车总费用
13、 y 关于 x 的表达式是 y13018x2130360 x，x50，100(或 y2 340 x1318x，x50，100).(2)y13018x2130360 x26 10，当且仅当13018x2130360 x，即 x18 10时等号成立.故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.基础诊断考点突破课堂总结【训练
14、 3】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)，平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v 20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)当 l6.05 时，F76 000vv218v206.05，F76 000vv218v12176 000v121v 1876 0002v121v 181 900，当且仅当 v121v，即
15、 v11 时取“”.最大车流量 F 为 1 900 辆/时.基础诊断考点突破课堂总结(2)当 l5 时，F76 000vv218v20576 000v100v 18，F76 0002v100v 182 000，当且仅当 v100v，即 v10 时取“”.最大车流量比(1)中的最大车流量增加 2 0001 900100 辆/时.答案(1)1 900(2)100 基础诊断考点突破课堂总结思想方法 1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.基础诊断考点突破课堂总结2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：abab22a2b22，abab2 a2b22(a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 yxmx(m0)的单调性.基础诊断考点突破课堂总结易错防范 1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.