1、第二章 平面解析几何初步2.3 圆的方程2.3.3 直线与圆的位置关系自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1知道直线与圆的位置关系的分类2能根据方程判断直线和圆的位置关系3能够解决有关直线和圆的位置关系的问题.直线与圆的位置关系(1)几何法直线 l：AxByC0，圆心为 M(a，b)、半径为 r 的圆，圆心 M 到直线 l 的距离 d_.dr直线 l 与圆 M_；dr直线 l 与圆 M_；d0直线 l 与圆 M_；0直线 l 与圆 M_；0直线 l 与圆 M_相交相切相离1直线 3x4y50 与圆 2x22y24x2y10 的位置关系是()A相离B相切C相交但直线不过圆心D相交且直
2、线过圆心解析：圆的方程可化为(x1)2y12234，圆心为1，12，半径为 32，圆心到直线的距离为 d|325|50，圆心在直线上，故选 D答案：D2若直线(1a)xy10 与圆 x2y22x0 相切，则 a的值为()A1 或1 B2 或2C1 D1解析：圆 x2y22x0 的圆心为(1,0)，半径为 1，由题可得|1a1|1a211.解得 a1，故选 D答案：D3直线 xy0 被圆(x2)2(y3)29 截得的弦长为_解析：圆的圆心为(2，3)，r3，圆心到直线 xy0 的距离为d|23|2 22，弦长为 2 r2d22 912 34.答案：34典例精析 规律总结课堂互动探究1直线与圆的位
3、置关系类型 已知直线方程 mxym10，圆的方程 x2y24x2y10.当 m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点【分析】直线与圆有两个公共点直线与圆相交；直线与圆只有一个公共点直线与圆相切；直线与圆没有公共点直线与圆相离【解】解法一：将直线 mxym10 代入圆的方程化简整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当 0 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 0 时，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点解
4、法二：已知圆的方程可化为：(x2)2(y1)24，即圆心为 C(2,1)，半径 r2.圆心 C(2,1)到直线 mxym10 的距离d|2m1m1|1m2|m2|1m2.当 d2 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当 d2 时，即 m0 或 m43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当 d2 时，即43m0 时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点 若直线 l：axby1 与圆 C：x2y21有两个不同的交点，则点 P(a，b)与圆 C 的位置关系是()A点在圆上B点在圆内C点在圆外D不能确定解析：因为直线 l 与圆 C 有两个不同的交点，所以1a2b21
5、，即 a2b21，(a，b)在圆外，故选 C答案：C2圆的切线方程类型 (1)若圆 C：x2y22x4y30 关于直线 2axby60 对称，则由点 P(a，b)向圆 C 所作切线长的最小值是()A2 B3 C4 D6(2)已知圆 C：x2y29，过点 P(3，1)作圆 C 的切线，则切线方程为_【解析】(1)圆 C：(x1)2(y2)22，圆心(1,2)，则2a2b60，ab30，点 P(a，b)在直线 xy30 上，切线长为|PC|22，故当|PC|最小时，切线长最小C 到直线 xy30 的距离为|123|23 2.切线长的最小值为 3 2224，故选 C(2)当切线与 x 轴垂直时，直线
6、为 x3，与圆 C：x2y29相切；当切线与 x 轴不垂直时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy3k10，则|3k1|1k2 3，解得 k43.切线方程为43xy410，即 4x3y150.【答案】(1)C(2)x3 或 4x3y150【知识点拨】如果所求切线过某已知点 M，务必弄清该点是在圆上还是在圆外(1)如果 M 点在圆上，那么圆心和点 M的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在 求与圆 x2(y2)21 相切，且在两坐标轴上
7、截距互为相反数的直线方程解：(1)截距为 0 时，设切线方程为 ykx，则 d|02|1k21，解得 k 3，所求直线方程为 y 3x.(2)截距不为 0 时，设切线方程为 xya，则 d|02a|112 1，解得 a2 2，所求直线方程为 xy2 20.综上所述，所求的直线方程为y 3x 和 xy2 20.3弦长问题类型 已知圆 C 的方程：x2y22x4ym0，其中 m5.(1)若圆 C 与直线 l：x2y40 相交于 M，N 两点，且|MN|4 55，求 m 的值；(2)在(1)条件下，是否存在直线 l：x2yc0，使得圆上有四点到直线 l 的距离为 55，若存在，求出 c 的取值范围，
8、若不存在，说明理由【解】(1)圆的方程化为(x1)2(y2)25m，圆心C(1,2)，半径 r 5m，则圆心 C(1,2)到直线 l：x2y40的距离为 d|1224|1222 15.由于|MN|45，则12|MN|25，有 r2d212|MN|2，5m152252，得 m4.(2)假设存在直线 l：x2yc0，使得圆上有四点到直线 l的距离为 55，由于圆心 C(1,2)，半径 r1，则圆心 C(1,2)到直线 l：x2yc0 的距离为d|122c|1222|c3|5 1 15，解得 4 5c2 5.【知识点拨】求弦长问题(1)几何法如图，直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，设弦心距为
9、d，圆半径为 r，弦长为|AB|，则有|AB|22d2r2.即|AB|2 r2d2.(2)代数法如图，联立直线方程和圆的方程，解方程组得 A，B 点坐标，再由两点间的距离公式求弦长|AB|；设直线 l 的方程为ykxb，联立直线l的方程与圆的方程，消去一个未知数得一个一元二次方程，利用根与系数的关系求解设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1kx1b，y2kx2b.则|AB|x1x22y1y22 x1x22kx1bkx2b2 1k2x1x22 1k2x1x224x1x2.直线 l：3xy60 被圆 C：(x1)2(y2)25 截得的弦 AB 的长为()A2 B4 2C6 D 10解析：
10、由圆的方程可知圆心(1,2)，r 5，圆心到直线 l 的距离 d|326|91 510 102，|AB|2 5d225104 10，故选 D答案：D4直线与圆的综合应用类型 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心的圆与直线 xy 20 相切，求：(1)圆 O 的方程；(2)设圆 O 与 x 轴的交点为 A，B，点 M 是圆 O 上不同于 A，B 的任意一点，直线 AM 和 BM 分别与直线 x2 交于 P，Q 两点，求证：以 PQ 为直径的圆 C 恒过定点【解】(1)由题可得 r|2|2 1，圆的方程为 x2y21.(2)证明：证法一：设点 M 的坐标为(x0，y0)，则 x20y201，
11、y201x20.令 A(1,0)，B(1,0)直线 AM：y y0 x01(x1)，直线 BM：y y0 x01(x1)，将 x2 代入，得 yP 3y0 x01，yQ y0 x01.P2，3y0 x01，Q2，y0 x01，|PQ|3y0 x01 y0 x01 2|x02|y0|，故 PQ 的中点坐标为2，2x01y0.以 PQ 为直径的圆截 x 轴的线段长度为2x022y202x012y20 2|y0|33x202 3|y0|1x202 3|y0|y0|2 3为定值所以 PQ 为直径的圆 C 必过定点(2 3，0)，(2 3，0)证法二：设 AM：yk(x1)，(k0)BM：y1k(x1)
12、，P(2,3k)，Q2，1k，以 PQ 为直径的圆的方程为(x2)2y3k1k223k1k22，即 x24x1y21k3k y0，令 y0，则 x2 3，不论 k 为何值时，该圆恒过定点(2 3，0)已知圆 C：x2y22x4y30.(1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P的坐标解：(1)切线在两坐标轴上的截距相等，当截距不为零时，设切线方程为 xya，又圆 C：(x1)2(y2)22，圆心 C(1,2)到切线的距离等于圆的半
13、径 2，即|12a|2 2，解得：a1 或 a3，当截距为零时，设 ykx，同理可得 k2 6或 k2 6，则所求切线的方程为 xy10 或 xy30 或 y(26)x 或 y(2 6)x.(2)切线 PM 与半径 CM 垂直，|PM|2|PC|2|CM|2.(x11)2(y12)22x21y21.2x14y130.动点 P 的轨迹是直线 2x4y30.|PM|的最小值就是|PO|的最小值而|PO|的最小值为原点 O 到直线 2x4y30 的距离 d3 510，由x21y21 920，2x14y130，可得x1 310，y135，故所求点 P 的坐标为 P 310，35.即学即练 稳操胜券基础
14、知识达标知识点一 弦长问题1已知圆(xa)2y24 截直线 yx4 所得的弦长为 2 2，则 a 等于()A2 B6C2 或 6 D2 2解析：圆心(a,0)到直线 yx4 的距离为 d|a4|2.由 d2(2)24，得|a4|2224，a6 或 a2，故选 C答案：C2已知圆的方程为 x2y26x8y0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A10 6B20 6C30 6D40 6解析：圆的方程可化为(x3)2(x4)225，圆心(3,4)，半径为 5，过点(3,5)的最长弦|AB|10，最短弦|BD|2 25124 6，SABCD12|
15、AB|CD|12104 620 6，故选 B答案：B知识点二 切线长问题3已知直线 l：xay10(aR)是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴过点 A(4，a)作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB|()A6 B 5C 10D2 10解析：圆 C 的方程可化为(x2)2(y1)24，圆心 C(2,1)，r2，又 C 在直线 l 上，2a10，a1，A(4，1)，|AC|2421122 10，|AB|AC|2r2 4046，故选 A答案：A知识点三 直线与圆的位置关系4圆 x2y24 上的点到直线 xy20 的距离的最大值为()A2 2B2 2C 2D0答案：A知识点四 切线方程5过 P(3,4)的直线 l 与圆 x2y22x2y20 相切，求直线 l 的方程解：圆的方程可化为(x1)2(y1)24，圆心为(1,1)，半径为 2.若圆的切线的斜率存在，可设切线方程为 y4k(x3)，即 kxy3k40.则|k13k4|k212，解得 k 512，切线方程为 y4 512(x3)，即 5x12y330.若圆的切线斜率不存在，过(3,4)点的直线为 x3，与圆相切故所求切线方程为 x3 或 5x12y330.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块