1、 数学 2016.09一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则 .2.设复数满足（为虚数单位），则的模为 .3. 为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间内的汽车有 辆.4.若函数的最小正周期为，则的值是 .5.下图是一个算法的流程图，则输出的值是 .6.设向量，若，则实数的值是 .7. 某单位要在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名到某地出差，则甲乙两人中，至少有一人被选中的概率是 .8
2、. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值是 .9. 在平面直角坐标系中，若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，则实数的值是 .10. 已知圆柱的底面半径为2，高为2，圆锥的底面直径和母线长相等，若圆柱和圆锥的体积相同，则圆锥的高为 .11. 各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，则数列的通项公式 .12. 已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是 .13.在中，已知，在上，若，则的长是 .14.已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，若存在，使得等式成立，则实数的取值范围是 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3、骤.） 15. （本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点，若点的横坐标是，点的纵坐标是.（1）求的值；（2）求的值.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若在边上，求证：.17. （本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40的半圆形（以为圆心，为直径）绿化区域，现计划对其进行改建，在的延长线上取点，使，在半圆上选定一点，改建后的绿化区域由扇形区域和三角形区域组成，其面积为，设.（1）写出关于的函数关系式，并指出的取值范围；（2）试问多大时，改建后的绿化区域面积最大.18. （本小
4、题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设.（1）若点的坐标为，且的周长为8，求椭圆的方程；（2）若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围.19. （本小题满分12分）已知数列是公差为正数的等差数列，其前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，.求数列的通项公式；是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分16分）已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.南京市2017
5、届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）10，1 2 380 4 55 647 81 9.1 106 113n1 122，813 14二、解答题（本大
6、题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）从而sin 2分因为钝角的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以sin，从而cos 4分（1）cos()coscossinsin() 8分（2）sin()sincoscossin() 11分因为为锐角，为钝角，故(，)， 所以 14分16（本小题满分14分）证明：（1）如图，连结A1C在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点 2分因为M为线段A1B的中
7、点，所以MNBC 4分又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C 6分（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD 8分因为ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1C1，所以AD平面BB1C1C 10分又BC平面BB1C1C，所以ADBC 12分又由（1）知，MNBC，所以MNAD 14分17（本小题满分14分）解：（1）因为扇形AOC的半径为40 m，AOCxrad，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800x，0x 2分在COD中，OD80，OC40，CODx，所以COD 的面积SCODOCO
8、DsinCOD1600sin(x)1600sinx 4分从而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x，0x 6分（2）由（1）知，S(x)1600sinx800x，0xS(x)1600cosx8001600(cosx) 8分由S(x)0，解得x从而当0x时，S(x)0；当x时， S(x)0因此S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减 11分所以当x，S(x)取得最大值答：当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大 14分18（本小题满分16分）解：（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22a，从而PQF2的周长为4a由题意，
9、得4a8，解得a2 2分因为点P的坐标为 (1，)，所以，解得b23所以椭圆C的方程为 5分（2）方法一：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00设Q(x1，y1)因为P在椭圆上，所以，解得y0，即P(c，) 7分因为F1(c，0)，所以(2c，)，(x1c，y1)由，得2c(x1c)，y1，解得x1c，y1，所以Q(c，) 11分因为点Q在椭圆上，所以()2e21，即(2)2e2(1e2)2，(243)e221，因为10，所以(3)e21，从而3 14分因为e，所以e2，即5所以的取值范围为，5 16分方法二：因为PF2x轴，且P在x轴上方，故设P(c，y0)，y00因为P
10、在椭圆上，所以1，解得y0，即P(c，) 7分因为F1(c，0)，故直线PF1的方程为y (xc)由，得(4c2b2)x22b2cxc2(b24a2)0因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c，)设Q(x1，y1)，则x1c，即cx1 11分因为，所以 14分因为e，所以e2，即5所以的取值范围为，5 16分19（本小题满分16分）解：（1）设数列an的公差为d，则d0由a2a315，S416，得 解得或（舍去）所以an2n1 4分（2）因为b1a1，bn1bn，所以b1a11，bn+1bn， 6分即 b2b1，b3b2， bnbn1，（n2）累加得：bnb1， 9分所以bnb11b11也符合上
11、式故bn，nN* 11分假设存在正整数m、n(mn)，使得b2，bm，bn成等差数列，则b2bn2bm又b2，bn，bm，所以()2()，即， 化简得：2m7 14分当n13，即n2时，m2，（舍去）；当n19，即n8时，m3，符合题意所以存在正整数m3，n8，使得b2，bm，bn成等差数列 16分20（本小题满分16分）解：（1）因为ab1，所以f(x)x2xlnx，从而f (x)2x1 因为f(1)0，f (1)2，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y02(x1)，即2xy20 3分（2）因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xlnx，从而f (x)2ax(2a1)，x0 5分当a0
12、时，x(0，1)时，f (x)0，x(1，)时，f (x)0，所以，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减 7分当0a时，由f (x)0得0x1或x，由f (x)0得1x，所以f(x)在区间(0，1)和区间(，)上单调递增，在区间(1，)上单调递减当a时，因为f (x)0（当且仅当x1时取等号），所以f(x)在区间(0，)上单调递增当a时，由f (x)0得0x或x1，由f (x)0得x1，所以f(x)在区间(0，)和区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减 10分（3）方法一：因为a1，所以f(x)x2bxlnx，从而f (x) (x0)由题意知，x1，x2是方程
13、2x2bx10的两个根，故x1x2记g(x) 2x2bx1，因为b3，所以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且bxi21 (i1，2) 12分f(x1)f(x2)()(bx1bx2)ln()ln因为x1x2，所以f(x1)f(x2)ln(2)，x2(1，) 14分令t2(2，)，(t)f(x1)f(x2)lnt因为(t)0，所以(t)在区间(2，)单调递增，所以(t)(2)ln2，即f(x1)f(x2)ln2 16分方法二：因为a1，所以f(x)x2bxlnx，从而f (x) (x0)由题意知，x1，x2是方程2x2bx10的两个根记g(x) 2x2bx1，因为b3，所
14、以g()0，g(1)3b0，所以x1(0，)，x2(1，)，且f(x)在x1，x2上为减函数 12分所以f(x1)f(x2)f()f(1)(ln)(1b)ln2因为b3，故f(x1)f(x2)ln2ln2 16分南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接四边形，所以BEDC 3分因为ABAC，所以BC 5分所以CEDC，从而EDEC 7分又因为EFDC于点F，
15、所以F为线段DC中点 10分B选修42：矩阵与变换解：（1）MAB 5分（2）矩阵M的特征多项式为f() (2)(3)2令f()0，解得11，24， 所以矩阵M的特征值为1或4 10分C选修44：坐标系与参数方程解：曲线C的极坐标方程为 r2cos，化为直角坐标方程为x2y22x 即(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，1为半径的圆 3分直线l的极坐标方程是 r sin()m，即rcosrsinm，化为直角坐标方程为xy2m0 6分因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，所以1，解得m或m所以，所求实数m的值为 或 10分D选修45：不等式选讲解：原不等式等价于 或 或 6分解得x；解得 x
16、1；解得x1所以原不等式的解集为 ，) 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22（本小题满分10分）解：（1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以，为正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz因为PDDC，所以DADCDP，不妨设DADCDP2，xyzABCDFPE（第22题）则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)因为E是PC的中点，所以E(0，1，1)所以(2，0，2)，(2，1，1)，所以cos，从而因此异面直线AP与BE所成角的大小为 4分（2）由（1）可
17、知，(0，1，1)，(2，2，0)，(2，2，2)设，则(2，2，2)，从而(2，2，22)设m(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，则即取z1，则y1，x121所以m(21，)为平面DEF的一个法向量 6分设n(x2，y2，z2)为平面DEB的一个法向量，则即取x21，则y21，z21所以n(1，1，1)为平面BDE的一个法向量 8分因为二面角FDEB的正弦值为，所以二面角FDEB的余弦的绝对值为，即 |cos|，所以 ， ，化简得，421，因为点F在线段PB上，所以01，所以，即 10分23（本小题满分10分）解：（1）设甲第i次投中获胜的事件为Ai (i1，2，3)，则A1，A2，A3彼此互斥甲获胜的事件为A1A2A3P(A1)；P(A2)；P(A3)()2()2所以P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)答：甲获胜的概率为 4分（2）X所有可能取的值为1，2，3则 P(X1)； P(X2)；P(X3)()2()21即X的概率分布列为X123P 8分所以X的数学期望E(X)123 10分