1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015年内蒙古赤峰市宁城县高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1（5分）设集合M=x|x22x30，则MN等于（） A （1，1） B （1，3） C （0，1） D （1，0）【考点】： 交集及其运算【专题】： 计算题【分析】： 先根据二次不等式的解法以及对数不等式化简集合M与N，然后利用交集的定义求出所求即可【解析】： 解：M=x|x22x30=x|（x+1）（x3）0=x|1x3=x|x1，MN=x|1x3故选B【点评】： 本题主要考查了二次不等式的解法以及对数不等式的解法，同时考查了计算能力，属于基础题2（5分）下列
2、函数中，在（0，+）上单调递增，并且是偶函数的是（） A y=x2 B y=x3 C y=lg|x| D y=2x【考点】： 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据函数单调性和奇偶性的性质分别进行判断即可【解析】： 解：B、y=x3在（0，+）上是减函数，是奇函数，不满足条件，C、y=lg|x|在（0，+）上是减函数，是偶函数，不满足条件，D、y=2x是增函数，不是偶函数，也不是奇函数，不满足条件，故选：A【点评】： 本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性的性质3（5分）现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角
3、形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（） A 9 B 10 C 19 D 29【考点】： 数列的应用【专题】： 应用题；转化思想【分析】： 由题意可知正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，由此得Sn=200解出使不等式成立的n的最大值，再求剩余的钢管数即可选出正确选项【解析】： 解：把200根相同的圆钢管堆放成一个正三角形垛，正三角形垛各层的钢管数组成一个首项为1，公差是1的数列，正三角形垛所需钢总数为Sn=1+2+3+4+n=，令 ，解得n=19是使得不等式成立的最大整数，此时Sn取最大值190，由此可以推出剩余的钢管有10根故选B【点评】： 本题考察数列的
4、应用，考查了等差数列的确定及其求和公式，解题的关键是理解题意得出各层钢管数是一个等差数列，由题设中所给的问题转化出合适的概率模型是解题的难点4（5分）已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=4且y=2”是“”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 简易逻辑【分析】： 根据向量平行的等价条件以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若，则x2y=0，即x=2y，若x=4且y=2，满足x=2y，即充分性成立，当x=y=0时，满足x=2y但x=4且y=2不成立，即必要性不成立
5、，故“x=4且y=2”是“”充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的坐标关系是解决本题的关键5（5分）某四棱锥的三视图如图所示，其中正（主）视图是等腰直角三角形，侧（左）视图是等腰三角形，俯视图是正方形，则该四棱锥的体积是（） A B C D 【考点】： 棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由三视图还原原直观图，可得三棱锥的底面是正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=2，求出底面积后直接代入棱锥的体积公式得答案【解析】： 解：由三视图还原原几何体如图，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，且PA=2，底面ABCD的对角
6、线线长为2，则正方形ABCD的边长为，=故选：B【点评】： 本题考查了三视图，考查了棱锥的体积，关键是由三视图还原原直观图，是中档题6（5分）在ABC中，点G是ABC的重心，若存在实数，使=+，则（） A =，= B =，= C =，= D =，=【考点】： 平面向量的基本定理及其意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由三角形的重心分中线为得，的值【解析】： 解：点G是ABC的重心，点G分中线为=（）=（），=+，故选：A【点评】： 本题考查三角形的重心性质、向量相等，属于基础题7（5分）已知直线m和平面，则下列四个命题中正确的是（） A 若，m，则m B 若，m，则m C 若，m，则m
7、D 若m，m，则【考点】： 空间中直线与平面之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答【解析】： 解：对于选项A，若，m，则m与可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若，m，则m或者m；故B 错误；对于选项C，若，m，则由面面平行的性质定理可得m；故C正确；对于选项D，若m，m，则与可能相交；故D错误；故选C【点评】： 本题考查了面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练掌握定理，正确分析8（5分）甲、乙两名同学在5次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设，分别表示甲、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，
8、s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（） A ，s1s2 B ，s1s2 C ，s1s2 D ，s1=s2【考点】： 茎叶图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】： 解：根据茎叶图中的数据，得；甲同学测试成绩的平均数是=（76+76+82+88+88）=82，乙同学测试成绩的平均数是=（76+78+83+86+87）=82；甲同学测试成绩的方差是：=（7682）2+（7682）2+（8282）2+（8882）2+（8882）2=，标准差是s1=，乙同学测试成绩的方差是=（6）2+（4）2+12+（4
9、）2+52=，标准差是s2=，s1s2故选：B【点评】： 本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题9（5分）ABC的两个顶点为A（4，0），B（4，0），ABC周长为18，则C点轨迹为（） A +=1 （y0） B +=1（y0） C +=1 （y0） D +=1（y0）【考点】： 椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点【解析】： 解：ABC的两顶点A（4，0），B（4，0），周长为18，AB=8，
10、BC+AC=10，108，点C到两个定点的距离之和等于定值，点C满足椭圆的定义，点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，2a=10，2c=8，b=3，椭圆的标准方程是+=1（y0）故选：D【点评】： 本题考查轨迹方程的求法，注意椭圆的定义的应用是关键10（5分）函数f（x）=sin（x+）（其中|）的图象如图所示，为了得到y=sinx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点（） A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质【分析】： 由=可求得，再由+=可求得，从而
11、可得到f（x）=sin（x+）的解析式，利用函数y=Asin（x+）的图象变换即可得到答案【解析】： 解：=，T=（0），=2；又2+=，=f（x）=sin（2x+），f（x）=sin2（x）+=sin2x，为了得到y=sinx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点向右平移个单位故选D【点评】： 本题考查由函数y=Asin（x+）的图象求其解析式与函数y=Asin（x+）的图象变换，求得函数f（x）=sin（x+）的解析式是关键，属于中档题11（5分）已知直线y=x按向量平移后得到的直线与曲线y=ln（x+2）相切，则为（） A （0，1） B （1，0） C （0，2） D （2，0）【考
12、点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 计算题；导数的概念及应用【分析】： 先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率进而求出切线方程，利用直线y=x按向量平移后得到的直线与曲线y=ln（x+2）相切，可求【解析】： 解：y=ln（x+2），y=，令=1，可得x=1，切点坐标为（1，0），切线方程为y0=x+1，即y=x+1，直线y=x按向量平移后得到的直线与曲线y=ln（x+2）相切，=（0，1）故选：A【点评】： 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，解决问题时应该抓住切点的特殊位置，并且借以正确的计算12（5分）已知两点M（1，0），N（1，
13、0），若直线y=k（x2）上至少存在三个点P，使得MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（） A 5，5 B ， C ，0）（0， D ，0）（0，【考点】： 直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】： 直线与圆【分析】： k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k0，然后分三种情况分析，即PMN，PNM，MPN为直角，若MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围【解析】： 解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，k0，如图所示，MNP是直角三角形，有三种情况：当M是直角顶点时，直线上有唯一点P1点满足条件；当
14、N是直角顶点时，直线上有唯一点P3满足条件；当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，则，解得，且k0实数k的取值范围是）（0，故选：D【点评】： 本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13（5分）若复数Z1=1+i，Z2=3i，则=12i【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值【解析】： 解：Z1=1+i，Z2=3i，则=，故答案为：12i【点评】： 本题考查了复数代数形式的乘
15、除运算，是基础的计算题14（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为【考点】： 简单线性规划【专题】： 计算题；不等式的解法及应用【分析】： 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z取得最大值【解析】： 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（，），B（，1），C（2，1）设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值z最大值=F（，）=故答案为：【点评】： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大
16、值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题15（5分）给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的集合为0，1，3【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，并输出【解析】： 解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值依题意得，或，或，解得x=0，或x=1，x=3故答案为：0，1，3【点评】： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个
17、热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误，本题属于基础题16（5分）已知an是递增数列，且对于任意的nN*，an=n2+n恒成立，则实数的取值范围是（3，+）【考点】： 数列与函数的综合【专题】： 计算题【分析】： 由对于任意的nN*，an=n2+n恒成立，知an+1an=（n+1）2+（n+1）n2n=2n+1+，由an是递增数列，知an+1ana2a1=3+0，由此能求出实数的取值范围【解析】： 解：对于任意的nN*，an=n2+n恒成立，an+1
18、an=（n+1）2+（n+1）n2n=2n+1+，an是递增数列，an+1an0，又an+1an=（n+1）2+（n+1）n2n=2n+1+当n=1时，an+1an最小，an+1ana2a1=3+0，3故答案为：（3，+）【点评】： 本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是基础题三、解答题（共5小题，满分60分）17（12分）（2012浙江）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值【考点】： 解三角形【专题】： 解三角形【分析】： （1
19、）将已知的等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0，等式两边同时除以sinA，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由正弦定理化简sinC=2sinA，得到关于a与c的方程，记作，再由b及cosB的值，利用余弦定理列出关于a与c的另一个方程，记作，联立即可求出a与c的值【解析】： 解：（1）由bsinA=acosB及正弦定理=，得：sinBsinA=sinAcosB，A为三角形的内角，sinA0，sinB=cosB，即tanB=，又B为三角形的内角，B=；（2）由sinC=2sinA及正弦定理=，得：c=2a，b=3，
20、cosB=，由余弦定理b2=a2+c22accosB得：9=a2+c2ac，联立解得：a=，c=2【点评】： 此题属于解直角三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键18（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点（）求证：PB平面AEC；（）若PA=4，求点E到平面ABCD的距离【考点】： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： （）通过证明PAAC，ABAC，证明AC平面PAB，利用直线与
21、平面垂直的性质定理推出ACPB （）连BD交AC于点O，连EO，说明EOPB然后证明PB平面AEC（）取AD中点F，连接EF说明EFPA然后说明线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离求解即可【解析】： 解：（）由PA平面ABCD可得PAAC，又ABAC，所以AC平面PAB，所以ACPB （4分）（）连BD交AC于点O，连EO，则EO是PDB的中位线，所以EOPB又因为PB面ABC，EO面ABC，所以PB平面AEC（8分）（）取AD中点F，连接EF因为点E是PD的中点，所以EFPA又因为PA平面ABCD，所以EF平面ABCD所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离又因为PA=4，所以E
22、F=2所以点E到平面ABCD的距离为2 （12分）【点评】： 本题考查直线与平面垂直，空间点线面距离的计算，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力逻辑推理能力19（12分）有20名学生参加某次考试，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I）求频率分布直方图中m的值；（） 分别求出成绩落在70，80），80，90），90，100中的学生人数；（）从成绩在90，100的学生中任选2人，求所选学生的成绩都落在80，90）中的概率【考点】： 古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： （）根据各小组频率和等于1，求出m的值；（）利用频率=，计算成绩落在70
23、，80）、80，90）、90，100中的学生人数；（）用列举法求出从80，100中的学生抽取2人的基本事件数以及此2人的成绩都在80，90）的基本事件数，求出概率即可【解析】： 解：（）根据各小组频率和等于1，得；10（2m+3m+4m+5m+6m）=1，m=0.005；（）成绩落在70，80）中的学生人数为20100.03=6，成绩落在80，90）中的学生人数是20100.02=4，成绩落在90，100中的学生人数2是0100.01=2；（）设落在80，90）中的学生为a1，a2，a3，a4，落在90，100中的学生为b1，b2，则1=a1a2，a1a3，a1a4，a1b1，a1b2，a2a
24、3，a2a4，a2b1，a2b2，a3a4，a3b1，a3b2，a4b1，a4b2，b1b2，基本事件个数为n=15，设A=“此2人的成绩都在80，90）”，则事件A包含的基本事件数m=6，事件A发生的概率为P（A）=【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目20（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，且C上任意一点到两个焦点的距离之和都为4（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆交于P、Q，O为坐标原点，若POQ=90，求证+为定值【考点】： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （
25、）由已知求得椭圆长半轴长，结合离心率求得半焦距，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（）设出直线OP的方程y=kx，和椭圆联立求出P的坐标，得到|OP|2，再由OPOQ写出OQ方程，和椭圆联立求出Q坐标，得到|OQ|2，代入+后整理可得其为定值【解析】： （）解：由题意可得：2a=4，a=2，又，c=，则，椭圆的方程是；（）证明：设P（x1，y1），若k存在，设直线OP的方程为l1：y=kx，代入，得，即，PAQ=90，以代换上式的k得，=若k不存在，即P、Q分别是椭圆长、短轴的顶点，|OP|2=4，|OQ|2=1则综上：【点评】： 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了
26、两点间的距离公式，是中档题21（12分）已知函数（）求函数f（x）的极小值；（）过点B（0，t）能否存在曲线y=f（x）的切线，请说明理由【考点】： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 转化思想；导数的概念及应用；导数的综合应用【分析】： （）求出函数的导数，令导数为0，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而得到极小值；（）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），求出导数，求得切线的方程，代入点（0，t），得到t=1求出右边函数的导数，求得单调区间和极值，也为最值，即可判断切线是否存在【解析】： 解：（）函数的定义域为R因为函数，所以f（x）=令f（x
27、）=0，则x=0所以f（x）极小值为f（0）=01+=0； （）假设存在切线，设切点坐标为（m，n），则切线方程为yn=f（m）（xm），即y（m1+）=（1em）（xm），将B（0，t）代入得t=1方程t=1有解，等价于过点B（0，t）作曲线f（x）的切线存在令M（x）=1，所以M（x）=当M（x）=0，x=0，所以 当x0时，以M（x）0，函数以M（x）在（，0）上单调递增；当x0时，M（x）0，M（x）在（0，+）上单调递减所以当x=0时，M（x）max=M（0）=0，无最小值当t0时，方程t=1有解；当t0时，方程t=1无解综上所述，当t0时存在切线；当t0时不存在切线【点评】： 本题
28、考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，运用函数和方程转化思想是解题的关键请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】22（10分）如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，BAC的平分线AD交O于D，过点D作DEAC交AC的延长线于点E，OE交AD于点F若，（）求证：ODAE；（）求的值【考点】： 与圆有关的比例线段【专题】： 推理和证明【分析】： （）连接OD，BC，设BC交OD于点M，则OAD=ODA，从而ODA=DAE，由此能证明OD
29、AE（）由已知得四边形CMDE为平行四边形，从而CE=MD，由，设AC=3x，AB=5x，则OM=，MD=x，从而AE=AC+CE=4x，由此能求出的值【解析】： （）证明：连接OD，BC，设BC交OD于点M因为OA=OD，所以OAD=ODA，（2分）又因为OAD=DAE，所以ODA=DAE，所以ODAE（4分）（）解：因为ACBC，且DEAC，所以BCDE所以四边形CMDE为平行四边形，所以CE=MD，（6分）由，设AC=3x，AB=5x，则OM=，又OD=，所以MD=x，所以AE=AC+CE=4x，因为ODAE，所以=（10分）【点评】： 本题考查直线与直线平行的证明，考查两线段比值的求法
30、，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用【选修4-4：坐标系与参数方程】23在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度已知曲线C：sin2=2acos（a0），过点P（2，4）的直线l的参数方程为直线l与曲线C分别交于M、N（）求a的取值范围；（）若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，求实数a的值【考点】： 参数方程化成普通方程【专题】： 坐标系和参数方程【分析】： （）首先把曲线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用一元二次方程判别式求出参数a的取值范围（）直接利用参数方程中的关系式求出a的值【解析】： 解：（）曲线C
31、的直角坐标方程为y2=2ax （a0）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：因为交于两点，所以0，即a0或a4由于a0，所以：a的范围为：a0（） 设交点M，N对应的参数分别为则若|PM|、|MN|、|PN|成等比数列，则解得a=1或a=4（舍）所以满足条件的a=1【点评】： 本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，一元二次方程判别式的应用，等比中项的应用【选修4-5：不等式选讲】24已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范围【考点】： 其他不等式的解法；函数的定义
32、域及其求法【专题】： 压轴题；不等式的解法及应用【分析】： （1）由题设知：|x+1|+|x2|7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x2|m+4，由于xR时，恒有|x+1|+|x2|3，故m+43，由此求得m的取值范围【解析】： 解：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范围是（，1【点评】： 本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题- 18 - 版权所有高考资源网