1、第2课时 四种命题 四种命题间的相互关系 新知识预习探究 知识点一四种命题的概念一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点二四种命题的结构 【练习 1】(1)“若 xy，则 x2y2”的逆否命题是()A若 xy，则 x2y2B若 xy，则 x2y2C若 x2y2，则 xyD若 xy，则 x2y2解析
2、：原命题的逆否命题为若 x2y2，则 xy.答案：C(2)命题“若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数”的否命题是()A若 f(x)是偶函数，则 f(x)是偶函数B若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数C若 f(x)是奇函数，则 f(x)是奇函数D若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数解析：原命题的条件是 f(x)是奇函数，结论是 f(x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题；若 f(x)不是奇函数，则 f(x)不是奇函数答案：B知识点三四种命题的相互关系【练习 2】下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边
3、相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_和，和和，和和，和解析：命题可改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题可改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题可改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆再依据四种命题间的关系便不难判断知识点四四种命题的真假性1.四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假2.四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题为互逆命题
4、或互否命题，它们的真假性没有关系【练习 3】下列命题中正确的是()“若 x2y20，则 x，y 不全为零”的否命题；“正三角形都相似”的逆命题；“若 m0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题；“若 b3，则 b29”的逆否命题A BCD解析：原命题的否命题为“若 x2y20，则 x，y 全为零”真命题原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”假命题原命题的逆否命题为“若 x2xm0 无实根，则 m0”方程无实根，判别式 14m0，m140.真命题“若 b3，则 b29”是真命题，其逆否命题是真命题答案：B新视点名师博客1.常见词语的否定词及写出其他三种命题的方法(1)写否命
5、题时最容易出现错误，学习时要掌握以下常见词语的否定词语.原词语等于()大于()小于()是都是至多一个否定词语不等于()不大于()不小于()不是 不都是 至少两个(2)对于不是“若 p，则 q”形式的命题，应先将其改写为“若 p，则 q”的形式，再写出命题的逆命题、否命题和逆否命题2四种命题真假性之间的关系由于逆命题和否命题也互为逆否命题，因此这四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.新课堂互动探究 考点一四种命题的概念与形式例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)若 a 5是有理数，则
6、 a 是无理数；(2)若 ab0，则 a，b 中至少有一个为零；(3)垂直于同一平面的两条直线平行思维启迪：首先分清楚原命题的条件和结论，再写出其逆命题、否命题、逆否命题解：(1)逆命题：若 a 是无理数，则 a 5是有理数；否命题：若 a 5不是有理数，则 a 不是无理数；逆否命题：若 a 不是无理数，则 a 5不是有理数(2)逆命题：若 a，b 中至少有一个为零，则 ab0；否命题：若 ab0，则 a，b 都不为零；逆否命题：若 a，b 都不为零，则 ab0.(3)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；逆否命题
7、：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面点评：(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“”“”“都”等的否定要注意改写正确变式探究 1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题；(1)正数的平方根不等于 0；(2)若 x2y20(x，yR)，则 x，y 全为 0.解：(1)逆命题：若一个数的平方根不等于 0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于 0；逆否
8、命题：若一个数的平方根等于 0，则这个数不是正数(2)逆命题：若 x，y 全为 0，则 x2y20(x，yR)；否命题：若 x2y20(x，yR)，则 x，y 不全为 0；逆否命题：若 x，y 不全为 0，则 x2y20(x，yR).考点二四种命题的真假判断例 2 已知下列命题：“若 ab，则 ac2bc2”的逆命题；“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的否命题；“若 a1，则函数 f(x)ax在(0，)上为减函数”的逆否命题“若 xy5，则 x2 且 y3”的否命题其中为真命题的是()A B CD思维启迪：先正确地写出对应的命题；再进行判断，或根据互为逆否命题同真或同假进行判断解析：逆命题是
9、“若 ac2bc2，则 ab”，是真命题；否命题是“若两个角不是对顶角，则这两个角不相等”，是假命题；易知原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题；“若 xy5，则 x2 且 y3”的逆命题为“若 x2 且 y3，则 xy5”，易知逆命题为真命题，故否命题为真命题答案：C点评：(1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷变式探究 2 有下列四个命题：“若 b2ac，则 a，b，c 成等比数列”的否命题；“若
10、m2，则直线 xy0 与直线 2xmy10 平行”的逆命题；“已知 a，b 是非零向量，若 ab0，则 a 与 b 方向相同”的逆否命题；“若 x3，则 x2x60”的逆否命题其中为真命题的个数是()A1 B2C3 D4解析：易知为真命题；当 a(0,1)，b(1,1)时，ab0，但 a 与 b 不同向，所以原命题为假命题，故为假命题；中逆否命题为“若 x2x60，则 x3”，易知为假命题答案：B考点三等价命题的应用例 3 判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集，则 a1”的逆否命题的真假思维启迪：解法一：分析已知命题，写出逆否命题，再判
11、断真假；解法二：先判断原命题的真假，再判断逆否命题的真假解：解法一：原命题的逆否命题：已知 a，x 为实数，若 a1，则关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集真假判断过程如下：抛物线 yx2(2a1)xa22 开口向上，(2a1)24(a22)4a7.若 a1，则 4a70.抛物线 yx2(2a1)xa22 与 x 轴无交点关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集为空集故逆否命题为真命题解法二：先判断原命题的真假a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x2(2a1)xa220 的解集不是空集，(2a1)24(a22)0，4a70，得 a74，从而 a1 成立原命题
12、为真命题又原命题与其逆否命题等价，逆否命题为真命题点评：由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，进而间接地证明原命题为真命题变式探究 3 已知函数 f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论解：逆否命题：若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.它为真命题可通过证明原命题为真命题来证明它，证明如下：ab0，则 ab，ba.函数 f(x)在(，)上是增函数，f(a)f(b)，f(b)
13、f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，即原命题为真命题它的逆否命题为真命题.新思维随堂自测1.命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是()A“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”B“若一个数的相反数是正数，则它是负数”C“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”D“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”解析：若原命题记作“若 p，则 q”，则 A 为“若 p，则綈 q”；B 为“若 q，则 p”；C 为“若綈 p，则綈 q”；D 为“若綈 q，则綈 p”故B 正确答案：B2一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题，这四个命题中()A真命题的个数一定是奇数B真命题的个数一定是偶
14、数C真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D以上判断均不正确解析：根据四种命题间的相互关系，“原命题”与它的“逆否命题”同真假，原命题的“逆命题”与它的“否命题”同真假，故真命题是成对出现的答案：B3命题“若 m10，则 m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A原命题、否命题 B原命题、逆命题C原命题、逆否命题 D逆命题、否命题解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题答案：C4“若 a1，则 a21”的逆否命题是_，为_(填“真”或“假”)命题答案：若 a21 则 a1 真5有下列四个命题：命题“若 xy0，则 x，y 互为相反数”的逆命题；命题“面积相等的三角
15、形全等”的否命题；命题“若 m1，则 x22xm0 有实根”的逆否命题；命题“若 ABB，则 AB”的逆否命题其中是真命题的是_(填上你认为正确的命题的序号)解析：中由 ABB，应该得出 BA，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题答案：6已知 a，b，cR，证明：若 abc1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知 a，b，cR，若 a，b，c 都不小于13，则 abc1.由条件 a13，b13，c13，三式相加得 abc1，显然逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题即已知 a，b，cR，若 abc1，则 a，b，c 中至少有一个小于13.辨错解走出误区易错点 1
16、 写否命题时忽略大前提致误【典例 1】将命题“a0 时，函数 yaxb 的值随 x 的增大而增大”，写成“若 p，则 q”的形式，并写出其否命题错解：“若 p，则 q”的形式：若 a0，则函数 yaxb 的值随x 的增大而增大；否命题：若 a0，则函数 yaxb 的值随 x 的不增大而不增大错因分析：原命题有两个条件：“a0”和“x 增大”，其中“a0”是大前提，在写原命题、逆命题、否命题、逆否命题时，都要把“a0”置于“若”字的前面，把“x 增大”作为原命题的条件错解中对否命题的写法，把“a0”和“x 增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是当 a0 时，便失去了研究“增”与“不增”的意义了，应在不改变函数性质的前提下完成解答正解：“若 p，则 q”的形式：当 a0 时，若 x 增大，则函数 yaxb的值也随着增大；否命题：当 a0 时，若 x 不增大，则函数 yaxb 的值也不增大易错点 2 命题中条件与结论的否定错误【典例 2】写出命题“若 x2y20，则 x，y 全为 0”的否命题并判断真假错解：若 x2y20，则 x，y 全不为 0，命题是真命题点评：错解主要是对原命题中结论的否定错误，对“x，y 全为 0”的否定应为“x，y 不全为 0”，而不是“x，y 全不为 0”正解：若 x2y20，则 x，y 不全为 0.是真命题