1、北京市通州区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1已知集合A2，1，0，1，Bx|x1，则AB（）A2，1B0，1 C1，0，1 D2，1，0，12已知（2+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3（）A10B20C40D803下列函数中，是偶函数且值域为0，+）的是（）Af（x）x21Bf（x）Cf（x）log2xDf（x）|x|4某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（）ABC4D85已知等比数列an的公比q2，前6项和S621，则a6（）A32B16C16D326已知在圆（x1）2+y2r
2、2上到直线xy+30的距离为的点恰有一个，则r（）ABC2D7已知a，b，cR，则“ab”的一个充分而不必要条件是（）Aa2b2Ba3b3C2a2bDac2bc28已知函数f（x）sin（x+）（0，）的图象如图所示，则（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间上单调递减C函数f（x）在区间上的最小值是1D曲线关于直线对称9已知点P是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到点A（0，2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p（）AB4CD10著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1，空气温度为0，则tmin后物体的温度（单位：）满足：0+（10）e
3、kt（其中k为常数，e2.71828）现有某物体放在20的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52，再经过6min后物体的温度冷却到24，则该物体初始温度是（）A80B82C84D86二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11已知复数，则z2 12已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q两点，则双曲线C的渐近线方程为 ；PF1Q的面积为 13设向量，是两个不共线的向量，已知2，2k，且B，C，D三点共线，则 （用，表示）；实数k 14已知函数f（x）（t0）有2个零点，且过点（e，1），则常数t的一个取值为 15已知函数，设曲线yf（x）在第一象限内
4、的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于B1，过B1点作斜率为1的直线交x轴于A1，再过A1点作斜率为1的直线交E于B2，过B2点作斜率为1的直线交x轴于A2，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示给出下列四个结论：A1B2的长为；点A3的坐标为；A2B3A3与A3B4A4的面积之比是；在直线x5与y轴之间有6个三角形其中，正确结论的序号是 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16如图，三棱锥ABCD中，CD平面ABC，ACB90，点E，F分别是AB，AD的中点（）求证：AC平面BCD；（）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值17在ABC中，
5、角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc1，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求a的值；（）求tanB的值条件：3sinB4sinC；条件：ABC的面积为18我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照30，40），40，50），50，60），60
6、，70），70，80），80，90），90，100分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：（）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；（）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系（直接写出结论）19已知函数f（x）x2ex1，g（x）exax，aR（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求g（x）的单调区间；（）设函数F（x）f（x）g（x），当a1时，求
7、F（x）在区间0，+）上的最小值20已知椭圆的短轴长为2，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PAAB，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为F（）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值；（）求直线EF的斜率的最小值21已知有限数列A：a1，a2，am为单调递增数列若存在等差数列B：b1，b2，bm+1，对于A中任意一项ai，都有biaibi+1，则称数列A是长为m的数列（）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：数列1，4，5，8；数列2，4，8，16（）若abc（
8、a，b，cR），证明：数列a，b，c为数列；（）设M是集合xN|0x63的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列参考答案一、选择题（共10小题）.1已知集合A2，1，0，1，Bx|x1，则AB（）A2，1B0，1C1，0，1D2，1，0，1解：A2，1，0，1，Bx|x1，AB0，1故选：B2已知（2+x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a3（）A10B20C40D80解：二项式（2+x）5的展开式中含x3的项为C40x3，所以a340，故选：C3下列函数中，是偶函数且值域为0，+）的是（）Af（x）x21Bf（x）Cf（x）log2xDf
9、（x）|x|解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）x21，为二次函数，是偶函数，其值域为1，+），不符合题意；对于B，f（x），不是偶函数，不符合题意；对于C，f（x）log2x，为对数函数，不是偶函数，不符合题意；对于D，f（x）|x|，是偶函数且值域为0，+），符合题意；故选：D4某三棱柱的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱柱的体积为（）ABC4D8解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰直角三角形，高为2的三棱柱体如图所示：故V，故选：C5已知等比数列an的公比q2，前6项和S621，则a6（）A32B16C16D32解：等比数列an的公比q
10、2，前6项和S621，21，解得a11，则a62532故选：D6已知在圆（x1）2+y2r2上到直线xy+30的距离为的点恰有一个，则r（）ABC2D解：因为圆（x1）2+y2r2的圆心为（1，0），半径为r，圆心（1，0）到直线xy+30的距离d2，因为在圆（x1）2+y2r2上到直线xy+30的距离为的点恰有一个，所以r2故选：A7已知a，b，cR，则“ab”的一个充分而不必要条件是（）Aa2b2Ba3b3C2a2bDac2bc2解：对于A：ab与a2b2互相推不出是既不充分也不必要条件，对于B：a3b3ab 是充要条件，对于C：ab2a2b是充要条件，对于D：若ac2bc2，得c0，则a
11、b，反之不成立，即ac2bc2是ab成立的充分不必要条件，故选：D8已知函数f（x）sin（x+）（0，）的图象如图所示，则（）A函数f（x）的最小正周期是2B函数f（x）在区间上单调递减C函数f（x）在区间上的最小值是1D曲线关于直线对称解：由函数f（x）sin（x+）的图象知，解得T，所以2，由五点法画图知（，0）是第一个对应点，所以2+0，解得，所以函数f（x）sin（2x）；对于A，函数f（x）的最小正周期是，选项A错误；对于B，x（，）时，2x（，），f（x）先递减后递增，所以B错误；对于C，x，时，2x，f（x）先递减后递增，最小值是f（x）minf（）1，所以C正确；对于D，yf
12、（x+）sin2（x+）sin（2x），且f（）sin（），所以曲线不关于直线对称，选项D错误故选：C9已知点P是抛物线y22px（p0）上一点，且点P到点A（0，2）的距离与到y轴的距离之和的最小值为，则p（）AB4CD解：抛物线y22px（p0）的准线为x，F（，0），P点到有y轴的距离为|PF|，其中|PF|xP+，|PA|+|PF|FA|，此时点P在直线AF与抛物线的交点，|FA|，|FA|22，22，解得p4，故选：D10著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为1，空气温度为0，则tmin后物体的温度（单位：）满足：0+（10）ekt（其中k为常数，e2
13、.71828）现有某物体放在20的空气中冷却，2min后测得物体的温度为52，再经过6min后物体的温度冷却到24，则该物体初始温度是（）A80B82C84D86解：由已知可得第二次冷却：152C，020C，t6，24C，即2420+（5220）e6k，所以e，则6kln8，解得k，第一次冷却：52C，020C，t2，所以5220+（120），即（120）32，所以84C，故选：C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11已知复数，则z22i解：因为zi（1i）1+i，所以z2（1+i）22i，故答案为：2i12已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，过点F2作x轴的垂线交双曲线C于P，Q
14、两点，则双曲线C的渐近线方程为yx；PF1Q的面积为12解：双曲线的a1，b，c2，渐近线的方程为yx；令x2，可得y3，则|PQ|6，PF1Q的面积为4612故答案为：yx，1213设向量，是两个不共线的向量，已知2，2k，且B，C，D三点共线，则+4（用，表示）；实数k8解：因为向量，是两个不共线的向量，且2，所以+4，又2k，且B，C，D三点共线，所以1（k）420，解得k8故答案为：+4；814已知函数f（x）（t0）有2个零点，且过点（e，1），则常数t的一个取值为2（不唯一）解：当xt时，令x2+2x0，解得x0或x2，当xt时，令lnx0，解得x1，因为f（x）只有2个零点且t0
15、，所以当xt时，取不到x1，故t1，又f（x）过点（e，1），则有f（e）1，所以te，故t的取值范围为1，e），所以常数t的一个取值可以为2（不唯一）故答案为：2（不唯一）15已知函数，设曲线yf（x）在第一象限内的部分为E，过O点作斜率为1的直线交E于B1，过B1点作斜率为1的直线交x轴于A1，再过A1点作斜率为1的直线交E于B2，过B2点作斜率为1的直线交x轴于A2，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示给出下列四个结论：A1B2的长为；点A3的坐标为；A2B3A3与A3B4A4的面积之比是；在直线x5与y轴之间有6个三角形其中，正确结论的序号是解：B1（1，1），A1
16、（2，0），解得B2（+1，1），A2（2，0），解得B3（，），A3（2，0），解得B4（，），A4（2，0），以此类推，Bn（，），An（2，0），对于，A1B2的长为2，所以错；对于，点A3的坐标为，所以对；对于，A2B3A3与A3B4A4的相似比为，面积之比不是，所以错；对于，因为252，所以在直线x5与y轴之间有6个三角形，所以对故答案为：三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16如图，三棱锥ABCD中，CD平面ABC，ACB90，点E，F分别是AB，AD的中点（）求证：AC平面BCD；（）求直线AD与平面CEF所成角的正弦值【解答】（）证明：因为DC
17、平面ABC，AC平面ABC，所以ACCD因为ACB90，所以ACCB因为CDCBC，CD平面BCD，CB平面BCD，所以AC平面BCD （）解：因为CD平面ABC，所以CBCD 6分以点C为坐标原点，分别以直线CB，CD，CA为x，y，z轴建立空间直角坐标系Cxyz设ACBC2，则DC4因为点E，F分别是AB，AD的中点，所以A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，4，0），E（1，0，1），F（0，2，1）所以，设平面CEF的法向量为（x，y，z），则即，令y1，则z2，x2所以（2，1，2）设直线AD与平面CEF所成角为所以所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值17在
18、ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bc1，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求a的值；（）求tanB的值条件：3sinB4sinC；条件：ABC的面积为解：（）选条件：3sinB4sinC，3sinB4sinC，由正弦定理，得3b4c，bc1，解方程组，得b4，c3，且，由余弦定理，得4，a2；选条件：ABC的面积为，ABC的面积为，解得bc12，bc1，解方程组，得b4，c3，由余弦定理，得4，a2；（）由余弦定理，得，18我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到
19、预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照30，40），40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：（）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；（）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数
20、学期望；（）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系（直接写出结论）解：（）由图知，学生的测试评分不低于8（0分）的频率（0.030+0.015）100.45设抽取的学生人数为n，所以0.45n9 解得n20所以此次抽取的学生人数为20 （）由图知，学生的测试评分在80，90）的频率0.030100.30，在90，100的频率0.015100.15所以200.306，200.153 所以学生的测试评分不低于8（0分）的9名学生中，评分在80，90）的有6人，在90，100的有3人，所以X的可能取值为0，1，2，3 ； 所以X的分布列为X0123P所以X的数学
21、期望 （）ab 19已知函数f（x）x2ex1，g（x）exax，aR（）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求g（x）的单调区间；（）设函数F（x）f（x）g（x），当a1时，求F（x）在区间0，+）上的最小值解：（）因为f（x）x2ex1，所以f（x）（2x+x2）ex所以f（0）1，f（0）0所以曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y+10 （）因为g（x）exax，定义域为R，所以g（x）exa 当a0时，g（x）0所以g（x）在R上单调递增 当a0时，令g（x）0，得xlna，所以当a0时，g（x）与g（x）在（，+）上的变化情况如下：x（，lna）lna（
22、lna，+）g（x）0+g（x）极小值所以g（x）在（，lna）内单调递减，在（lna，+）内单调递增 由可知，当a0时，g（x）在R上单调递增当a0时，g（x）在（，lna）内单调递减，在lna，+）内单调递增（）因为F（x）f（x）g（x），所以F（x）（x21）ex+ax1，所以F（x）（x2+2x1）ex+a令h（x）F（x），所以h（x）（x2+4x+1）ex0 所以h（x）在区间0，+）上单调递增，即F（x）在区间0，+）上单调递增所以F（x）F（0）1+a 因为a1，所以F（x）0 所以F（x）在区间0，+）上单调递增 所以F（x）F（0）2 所以当a1时，F（x）在区间0，+）
23、上的最小值是220已知椭圆的短轴长为2，离心率为（）求椭圆C的方程；（）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且PAAB，点Q是P关于x轴的对称点，直线QA与椭圆C的另一个交点为F（）证明：直线AQ，AP的斜率之比为定值；（）求直线EF的斜率的最小值解：（）由题意得解得所以椭圆C的方程为（）（i）设P点的坐标为（x0，y0），因为点Q是P（x0，y0）关于x轴的对称点，PAAB，所以Q（x0，y0），所以直线QA的斜率为，PA的斜率为所以 所以直线AQ，AP的斜率之比为定值（ii）设直线PA的方程为ykx+m联立方程组
24、化简得（1+2k2）x2+4kmx+2m220设E点的坐标是（x1，y1），所以 所以所以所以E点的坐标是 由（）可知，直线QA的方程是y3kx+m所以F点的坐标是所以直线EF的斜率因为k0，所以当且仅当，即时，kEF有最小值所以直线EF的斜率的最小值是 21已知有限数列A：a1，a2，am为单调递增数列若存在等差数列B：b1，b2，bm+1，对于A中任意一项ai，都有biaibi+1，则称数列A是长为m的数列（）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：数列1，4，5，8；数列2，4，8，16（）若abc（a，b，cR），证明：数列a，b，c为数列；（）设M是集合xN|0x63的子集，且至少有
25、28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列解：（）根据题意可得，数列1，4，5，8是数列；数列2，4，8，16是数列（）证明：当bacb时，令b1a，b2b，b3c，b42cb，所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1ab2bb3cb4，所以数列a，b，c为数列当bacb时，令b12bc，b2b，b3c，b42cb，所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1ab2bb3cb4所以数列a，b，c为数列当bacb时，令b1a，b3c，所以数列b1，b2，b3，b4为等差数列，且b1ab2bb3cb4所以数列a，b，c为数列综上，若abc，数列a，b，c为数列（）证明：假设M
26、中没有长为4的数列，考虑集合Mk16k，16k+1，16k+15，k0，1，2，3因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k，使得Mk中没有一个元素属于M对于其余的k，再考虑集合Mk，j16k+4j，16k+4j+1，16k+4j+2，16k+4j+3，j0，1，2，3因为16k+4j，16k+4j+4，16k+4j+8，16k+4j+12，16k+4j+16是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j，使得Mk，j中没有一个元素属于M因为Mk，j中4个数成等差数列，所以每个Mk，j中至少有一个元素不属于M所以集合xN|0x63中至少有16+43+1937个元素不属于集合M所以集合M中至多有643727个元素，这与M中至少有28个元素矛盾所以假设不成立所以M中的元素必能构成长为4的数列- 21 -