1、第二章数列的应用 总结自主学习 知识梳理1等差数列an的通项公式ana1(n1)d，前n项和公式Sn或Snna1d.2等比数列an的通项公式ana1qn1当q1时，前n项和Snna1；当q1时，前n项和Sn或Sn.3有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息本金存期利率根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额利息全额税率(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，税率为q，则到期时，所得利息为_，应纳税为_，实际取出金额为_(2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，税率为q，则到第
2、n期末时，应得到全部利息为_，应纳税为_，实际受益金额为_4分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为_ 自主探究在分期付款问题中，贷款a元，分m个月付清，月利率为r，每月付x元，想一想，每月付款金额x元应如何计算，试给出推导过程对点讲练知识点一等差数列模型的应用例1某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全
3、部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？总结与等差数列有关的实际应用题，要抓住其反映的等差数列特征，仔细审题，用心联想，如本例中，每月比上一月都少付了50万元的月息，即0.5万元，所以每月付款成等差数列变式训练1从多个地方抽调了一批型号相同的联合收割机，收割一片小麦若这些收割机同时到达，则24小时可收割完毕，但它们由于距离不同，是每隔一段相同的时间顺序投入工作的，如果第一台收割机总工作时间恰好是最后一台总工作时间的5倍，问以这种收割方式收割机在这片麦地上工作了多长时间？知识点二等比数列模型的应用例2国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2002年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，
4、以后每年退耕还林的面积按12%递增(1)试问从2002年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.1282.476,1.1272.211)(精确到年)(2)为支持退耕还林工作，国家财政从2003年起补助农民当年退耕地每亩300斤粮食，每斤粮食按0.7元折算，并且补助当年退耕地每亩20元试问：西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付多少亿元？(精确到亿元)总结构建等比数列模型解决实际问题，要弄清a1与n的实际含义，分清是求通项an还是求前n项和Sn.变式训练2有纯酒精a L(a1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精_L.知
5、识点三递推数列型应用题例3某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 20.3)总结如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an1(或前几项)间的递推关系式，那么我们就可以用递推数列的知识求解问题变式训练3某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个按照此规律，6小时后细胞存活数是()A33 B64 C65 D1271在日常
6、生活中我们经常遇到存款利息、购房贷款、资产折旧、企业股金、人口增长等方面的问题，这些问题的解决常常涉及到数列的有关知识2解数列应用题的思路和方法：具体方法步骤是：(1)认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，还是递推数列问题？是求an还是Sn？特别要注意准确弄清项数为多少弄清题目中主要的已知事项(2)抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达(3)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式. 课时作业一、选择题1某工厂预计今年十二月份
7、产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是()A. B.C.1 D.12“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟3某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是()A不增不减 B约增1.4%C约减9.2% D约减7.8%4某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清
8、，则每年应偿还()A.万元 B.万元C.万元 D.万元二、填空题5一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂6一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了_支铅笔三、解答题7某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg 20.3)8
9、假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.0851.47)数列的应用知识梳理3(1)nApnApqnAp(1q)A(2)n(n1)Apn(n1)Apqn(n1)Ap(1q)4.自主探究解一方面贷款a元，m个月后本息和为a(1r)m；另一方面每月付款x元
10、，从第一个月开始每次付款x元，m个月后本息和见下表所示期数123本息和x(1r)m1x(1r)m2x(1r)m3从而有：a(1r)mxx.对点讲练例1解因购房时先付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款，则每次付款数额顺次构成数列ana1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，an501%60(n1) (1n20，nN*)an是以60为首项，以为公差的等差数列，a1060955.5，a20601950.5，S20(a1a20)2010(6050.5)1 105.实际共付1 10
11、51501 255(万元)所以第10个月应付55.5万元，实际共付1 255万元变式训练1解设这n台收割机的工作时间依次为a1，a2，an小时，依题意a1，a2，an组成一个等差数列，又每台收割机每小时的工作效率为，则有由得1，即a1an48.联立、解得a140(小时)所以用这种收割方式在这片麦地上工作了40小时例2解(1)设从2002年底起以后每年的退耕还林的土地依次为(单位：万亩)a1，a2，a3，an，.则a1515(112%)，a2515(112%)2，an515(112%)n，Sna1a2an6 370515，5151.12(1.12n1)5 8550.12，即1.12n2.218.
12、又因为nN*，当n7时，1.1272.211，此时完不成退耕还林计划所以n8.故到2010年底西部地区才能完成退耕还林计划(2)设财政补助费为W亿元则W(3000.720)(6 370515)104134.7(亿元)，所以西部完成退耕还林计划，国家财政共需支付134.7亿元变式训练28解析用an表示每次取出的纯酒精，a11，加水后浓度为1，a21，加水后浓度为2，a32，依次类推：a98 L，a109 L.898.例3解设该项目逐年的项目资金数依次为a1，a2，a3，an.则由已知an1an(125%)200(nN*)即an1an200.令an1x(anx)，即an1an，由200，x800.
13、an1800(an800)(nN*)故数列an800是以a1800为首项，为公比的等比数列a11 000(125%)2001 050.a1800250，an800250n1.an800250n1(nN*)由题意an4 000.800250n14 000，即n16.两边取常用对数得nlg lg 16，即n(13lg 2)4lg 2.lg 20.3，0.1n1.2，n12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标变式训练3C课时作业1C2C3D4B546 656解析每天蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a16，q6，第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a66646 656(只)67 260
14、解析从下向上依次放了1,2,3，120支铅笔，共放了铅笔1231207 260(支)7解设a1，a2，a20表示今年开始的各年木材存量，且a03 300，则anan1(125%)b.anan1b，an4b(an14b)，即数列an4b是等比数列，公比q.a204b(a04b)20.令t20，则lg t20lg 20(130.3)2.t100，于是a204b100(a04b)，a20100a0396b，由a204a0，得100a0396b4a0，ba0800.故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米8解(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知an是等差数列其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知bn是等比数列其中b1400，q1.08，则bn4001.08n1.由题意可知an0.85bn，有250(n1)504001.08n10.85.由1.0851.47解得满足上述不等式的最小正整数n6，到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.