1、高考资源网（ ），您身边的高考专家北京市西城区2012年高三二模试卷 数 学（理科） 2012.5第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知集合，其中若，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）2执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：； ； 则输出函数的序号为（ ）（A） （B）（C） （D）3椭圆 是参数的离心率是（ ）（A）（B）（C）（D）4已知向量，其中则“”是“”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5右图是，两组各名同学体重（单位：）数据
2、的茎叶图设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）（A），（B），（C），（D），6已知函数，其中实数随机选自区间对，的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）7某大楼共有层，有人在第层上了电梯，他们分别要去第至第层，每层人因特殊原因，电梯只允许停次，只可使人如愿到达，其余人都要步行到达所去的楼层假设这位乘客的初始“不满意度”均为，乘客每向下步行层的“不满意度”增量为，每向上步行层的“不满意度”增量为，人的“不满意度”之和记为，则的最小值是（ ）（A）（B）（C）（D）8对数列，如果及，使成立，其中，则称为阶递归数列给出下列三个结论： 若是等比数列，则为
3、阶递归数列； 若是等差数列，则为阶递归数列； 若数列的通项公式为，则为阶递归数列其中，正确结论的个数是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9在中，则 _ 10已知复数满足，则_ 11如图，是的内接三角形，是的切线，交于点，交于点若，则_；_12已知函数是上的偶函数，则实数_；不等式 的解集为_ 13一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_14曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下列三个结论： 曲线关于
4、轴对称； 若点在曲线上，则； 若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序号是_ 三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15（本小题满分13分）已知函数（）求的值； （）若对于任意的，都有，求实数的取值范围16（本小题满分14分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值； （）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出；若不存在，说明理由 17（本小题满分13分）甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分
5、，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选（）求乙得分的分布列和数学期望；（）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率18（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（）若，求直线的斜率；（）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值19（本小题满分14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围20（本小题满分13分） 若或，则称为和的一个位排列对于，将排列记为；将排列记为；依此类推，直至对于排列和，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做和的相关值，记作例如，则，
6、 若，则称为最佳排列（）写出所有的最佳排列；（）证明：不存在最佳排列；（）若某个是正整数为最佳排列，求排列中的个数北京市西城区2012年高三二模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1D； 2D； 3B； 4A； 5C； 6C； 7C； 8D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11，； 12， 13，； 14 注：11、12、13第一问2分，第二问3分；14题少填不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15（本小题满分13分） （）解： 5分 （）解： 7分 8分 9分 因为 ，所以 ， 10分
7、所以当 ，即 时，取得最大值 11分 所以 ， 等价于 故当 ，时，的取值范围是 13分16（本小题满分14分）（）证明：取中点，连结，因为，所以 1分因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，所以 2分所以平面 3分所以 4分（）解：因为平面平面，且 ，所以平面，所以 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 5分因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以 所以 ，平面的一个法向量为 7分 设直线与平面所成的角为，所以 ， 即直线与平面所成角的正弦值为 9分 （）解：存在点，且时，有/ 平面 10分证明如下：由 ，所以设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 因为 ，且平面，所以 / 平面
8、 即点满足时，有/ 平面 14分17（本小题满分13分）（）解：设乙答题所得分数为，则的可能取值为1分 ； ； 5分乙得分的分布列如下： 6分 7分（）由已知甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.则 ， 10分 11分故甲乙两人至少有一人入选的概率 13分18（本小题满分13分）（）解：依题意，设直线方程为 1分将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得 3分设，所以 ， 4分因为 ，所以 5分联立和，消去，得 6分所以直线的斜率是 7分（）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于 9分因为 10分， 12分 所以 时，四边形的面
9、积最小，最小值是 13分19.（本小题满分14分）（）解：当时， 2分由 ， 得曲线在原点处的切线方程是3分 （）解： 4分 当时，所以在单调递增，在单调递减 5分当， 当时，令，得，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是 7分 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是，；单调减区间是 9分（）解：由（）得， 时不合题意 10分 当时，由（）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值 设为的零点，易知，且从而时，；时，若在上存在最小值，必有，解得 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是 12分 当时，由（）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是 综上，的取值范围是 14分20.（本小题满分13分）（）解：最佳排列为， 3分（）证明：设，则，因为 ，所以，之中有个，个按的顺序研究数码变化，由上述分析可知有次数码不发生改变，有次数码发生了改变但是经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在，使得，从而不存在最佳排列 7分（）解：由或，得，因为 ，所以 与每个有个对应位置数码相同，有个对应位置数码不同，因此有，以上各式求和得， 10分另一方面，还可以这样求和：设中有个，个，则 11分所以 解得或 所以排列中的个数是或 13分欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。