1、课时作业5函数的单调性与最值一、选择题1下列函数中，在(0，)上单调递减的是(A)Ay22x ByCylog Dyx22xa解析：A中，y22x，令t2x，t2x在(0，)上单调递减，t(，2)，y2t在(，2)上单调递增，y22x在(0，)上单调递减B中，y1，令tx1，tx1在(0，)上单调递增，t(1，)，y1在(1，)上单调递增，y在(0，)上单调递增C中，yloglog2x在(0，)上单调递增D中，yx22xa图象的对称轴为直线x1，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故选A.2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(D)A(，2) B(，1)C(1，) D(
2、4，)解析：由x22x80，得x4或x0)的最小值为8，则(A)Aa(5,6) Ba(7,8)Ca(8,9) Da(9,10)解析：因为f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8，则g(a)在(0，)上单调递增，又g(5)5log2580，所以a(5,6)故选A.4函数f(x)的单调递增区间是(C)A(，1) B(1，)C(，1)，(1，) D(，1)，(1，)解析：因为f(x)1，所以f(x)的图象是由y的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移一个单位得到，而y的单调递增区间为(，0)，(0，)；所以f(x)
3、的单调递增区间是(，1)，(1，)故选C.5设偶函数f(x)的定义域为R，当x0，)时，f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是(A)Af()f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2)Df()f(2)f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)6若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是(B)A. B6，4C3，2 D4，3解析：由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故2,3，即a6，47函数y，x(m，n的最小值
4、为0，则m的取值范围是(D)A(1,2) B(1,2)C1,2) D1,2)解析：函数y1，且在x(1，)时单调递减，在x2时，y0；根据题意x(m，n时，y的最小值为0，所以1m2.8(多选题)对于实数x，符号x表示不超过x的最大整数，例如3，1.082，定义函数f(x)xx，则下列命题中正确的是(ACD)Af(3.9)f(4.1)B函数f(x)的最大值为1C函数f(x)的最小值为0D方程f(x)0有无数个根解析：根据符号x的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)xx的解析式：当1x0时，x1，则f(x)xxx1当0x1时，x0，则f(x)xxx当1x2时，x1，则f(x)xxx1当2
5、x3时，x2，则f(x)xxx2画出函数f(x)xx的图象如下图所示：根据定义可知，f(3.9)3.9(4)0.1，f(4.1)4.140.1，即f(3.9)f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)xx最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知f(x)0，即f(x)有无数个根，所以D正确综上，故选ACD.二、填空题9函数f(x)(x2,5)的最大值与最小值之和等于.解析：f(x)在2,5上是减函数，所以最大值为f(2)1，最小值为f(5)，f(2)f(5).10设函数f(x)的最小值为2，则实数a的取值范围是3，)解析：当x1时，f(x)2，当xa
6、1.由题意知a12，所以a3.11已知奇函数f(x)在R上是增函数若af，bf(log24.1)，cf(20.8)，则a，b，c的大小关系为abc.解析：f(x)在R上是奇函数，afff(log25)又f(x)在R上是增函数，且log25log24.1log24220.8，f(log25)f(log24.1)f(20.8)，abc.12已知函数f(x)若f(x)的最小值为f(1)，则实数a的取值范围是2，)解析：由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1)，需满足解得a2.三、解答题13已知函数f(x)(a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值
7、解：(1)证明：设x2x10，则x2x10，x1x20，因为f(x2)f(x1)0，所以f(x2)f(x1)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)因为f(x)在上的值域是，又由(1)得f(x)在上是单调增函数，所以f，f(2)2，解得a.14设函数f(x)ax2bx1(a，bR)，F(x)(1)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解：(1)f(1)0，ba1.由f(x)0恒成立，知a0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20，a1，b2.从而f(x)x22x
8、1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1，g(x)f(x)kxx2(2k)x1，由g(x)在2,2上是单调函数，知2或2，得k2或k6.即实数k的取值范围为(，26，)15(多填题)已知函数f(x)若函数f(x)在R上是单调的，则实数a的取值范围是2，)；若对任意的实数x1a，总存在实数x2a，使得f(x1)f(x2)0，则实数a的取值范围是(，2解析：令x2x2，解得x1或x2.作出函数yf(x)的图象如图所示，若函数f(x)在R上单调，只需a2.若对任意的实数x10时，函数yx2在a，)上的值域为(，a2，则a2a2，无解综上，若对任意的实数x10，试确定a的取值范围解：(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)；当a1时，定义域为x|x0且x1；当0a1时，定义域为x|0x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，所以g(x)x2在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上的最小值为f(2)lg.(3)对任意x2，)恒有f(x)0，即x21对任意x2，)恒成立所以a3xx2，令h(x)3xx2，而h(x)3xx22在2，)上是减函数，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.即a的取值范围为(2，)