1、第九章解析几何学案47直线及其方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系自主梳理1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴_与直线l_方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_倾斜角的范围为_(2)直线的斜率定义：一条直线的倾斜角的_叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k_，倾斜角是90的直线斜率不存在过两点的直线的斜
2、率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k_.2直线的方向向量经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线的一个方向向量为，其坐标为_，当斜率k存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)3直线的方程和方程的直线已知二元一次方程AxByC0 (A2B20)和坐标平面上的直线l，如果直线l上任意一点的坐标都是方程_的解，并且以方程AxByC0的任意一个解作为点的坐标都在_，就称直线l是方程AxByC0的直线，称方程AxByC0是直线l的方程4直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (
3、x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用5.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式自我检测1(2011银川调研)若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为()A. B C2 D22直线l与两条直线xy70，y1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，1)，则直线l的斜率为()A B. C. D3下列四个命题中，假命题是()A经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示B经过两个不
4、同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示C与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程1表示D经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb4(2011商丘期末)如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5已知直线l的方向向量与向量a(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为()Ax2y10 B2xy30Cx2y10 Dx2y30探究点一倾斜角与斜率例1已知两点A(1，5)、B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率变式迁移1直线xsin
5、y10的倾斜角的变化范围是()A. B(0，)C. D.探究点二直线的方程例2(2011武汉模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)AOB面积最小时l的方程；(2)|PA|PB|最小时l的方程变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文
6、物保护区不能占用，经测量|AB|100 m，|BC|80 m，|AE|30 m，|AF|20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？探究点四数形结合思想例4已知实数x，y满足yx22x2(1x1)试求的最大值与最小值变式迁移4直线l过点M(1,2)且与以点P(2，3)、Q(4,0)为端点的线段恒相交，则l的斜率范围是()A，5 B，0)(0,5C(，5，) D，)(，51要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0180，熟记斜率公式k，该公式与两点顺序无关已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1x2，y1y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2当直线没有斜
7、率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求直线方程，但都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1(2011临沂月考)已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是()A(0，) B.C. D.
8、2若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.3点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x4y的最小值是()A2 B4C16 D不存在4(2011宜昌调研)点A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxayab0不经过的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限5(2011包头期末)经过点P(2，1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为()A2xy2 B2xy4C2xy3 D2xy3或x2y0二、填空题(每小题4分，共12分)6过两点A(m22，m23)，B(3mm2,2m)
9、的直线l的倾斜角为45，则m_.7直线x(a21)y10(aR)的倾斜角的取值范围是_8设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|PB|，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_三、解答题(共38分)9(12分)已知两点A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m，求直线AB的倾斜角的范围10(12分)(2011秦皇岛模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求m的范围11(14分)已知直线l：kxy12k0 (kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限
10、，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程学案47直线及其方程自主梳理1(1)正向向上000，0290，00，故直线l的斜率为.变式迁移1D直线xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.当0k1时，倾斜角的范围是，当1k2，b1)，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.当且仅当，即a4，b2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，变形得(a2)(b1)2，|PA|PB|.当且仅当a21，b12，即a3，b3时，|PA|PB|取最小值4.此时
11、直线l的方程为xy30.变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程为1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则S|PQ|PR|(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)当m5时，S有最大值，这时5.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大例4解题导引解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍
12、的效果解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，k8，故的最大值为8，最小值为.变式迁移4C如图，过点M作y轴的平行线与线段PQ相交于点N.kMP5，kMQ.当直线l从MP开始绕M按逆时针方向旋转到MN时，倾斜角在增大，斜率也在增大，这时，k5.当直线l从MN开始逆时针旋转到MQ时，正切函数在(，)上仍为增函数，斜率从开始增加，增大到kMQ，故直线l的斜率范围是(，5，)课后练习区1B2.B3.B4.C5.D627.，)8.xy509解(1)当m1时，直线AB的斜率不存在；(1分
13、)当m1时，k.(3分)(2)当m1时，AB的方程为x1，(5分)当m1时，AB的方程为y2(x1)，即y.(7分)直线AB的方程为x1或y.(8分)(3)当m1时，；当m1时，k(，.(10分)综合，知直线AB的倾斜角.(12分)10.解直线xmym0恒过A(0，1)点(2分)kAP2，kAQ，(5分)则或2，m且m0.(9分)又m0时直线xmym0与线段PQ有交点，所求m的范围是m.(12分)11(1)证明直线l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(4分)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k0；(7分)当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(9分)(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.(11分)S|OA|OB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时l：x2y40.(14分)