1、5 二项式定理自主整理1.(a+b)n=_.这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，（a+b)n的二项展开式有_项，其中各项的系数_称为二项式系数，_称为二项展开式的第_项，又称为二项式通项.2.在二项式定理中，如果设a=1,b=x，则得到公式：(1+x)n=_.3.当n依次取1,2,3,时，(a+b)n展开式的二项式系数如下图所示： 图中所示的表叫作二项式系数表，它有这样的规律：表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数字的_，即_；与首末两端“等距离”的两个二项式系数_，即_.高手笔记1.二项展开式的项数为n+1项.2.各项的次数都等于二
2、项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.3.字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4.二项式的系数从C,C,一直到C,C.5.Tr+1=Can-rbr,可以表示（a+b)n的二项展开式中的任意一项，只要r确定.6.Tr+1是（a+b)n的二项展开式的第r+1项，而不是第r项.7.二项式系数与项的系数是不同的，如(a+bx)n(a、bC)的展开式中，第r+1项的二项式系数是C，而第r+1项的系数为C名师解惑1.如何应用二项式的通项公式解题？剖析：通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数.（
3、1）运用通项公式Tr+1=C解题，一般都需先转化为方程（组）求出n、r，然后代入通项公式求解.（2）求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系.2.二项展开式的性质剖析：（1）如果n是偶数，则中间一项（第+1项）的二项式系数最大；如果n为奇数，则中间两项（第n+项与+1项）的二项式系数相等并且最大.（2）所有二项式系数的和等于2n，即C+C+C=2n.(3)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.即C+=C+C+=2n-1.3.运用二项式定理解题时有哪些常用的方法？剖析：（1）赋值法.在(a+b)
4、n展开式中令a=b=1，得C+C+C=2n;令a=1,b=-1得C-C+C-C+=0,C+C+C+=C+C+C+=2n-1.这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.（2）利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧.讲练互动【例1】写出(x-y)11的展开式中：（1）通项Tr+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和.分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式
5、系数的和可利用和为2n这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.解：（1）Tr+1=(-1)rCx11-ryr.(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T6=-Cx6y5,T7=Cx5y6.(4)由（3）知，项的系数最大的项是T7=Cx5y6.(5)由（3）知，项的系数最小的项是T6=-Cx6y5.(6)展开式中，二项式系数的和为C+C+C=211.(7)展开式中，各项系数的和为C+(-1)11C=(1-1)11=011=0.绿色通道:本题是关于二
6、项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视.变式训练1.求（x2-)9展开式中的第6项;第3项的系数;含x9的项;常数项.解：T6=C59(x2)4()5=x3.T3=C (x2)7()2=9x12,第3项系数为9.首先利用通项公式去求含x9的项是第几项，再求这一项，即知系数.设第r+1项，含x9，则T r+1=C(x2)9-r()r，x的幂指数为2(9-r)-r=9,r=3.含x9项为第4项，T4=C（x2)6()3=x9.设常数项为第r+1项，Tr+1=C(x2)9-r()r,则x的幂指数为18-3r=0,即r=6,第7项为常数项，T7=C69（x2)9
7、-6()6=.【例2】求(x2+3x+2)5的展开式中含x的项.分析：由x2+3x+2=(x+1)(x+2),利用二项展开式求解.也可以利用组合数及乘法原理.解法一：（x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,含x的项是(x+1)5展开式中的一次项与（x+2)5展开式中的常数项之积和(x+1)5展开式中的常数项与(x+2)5展开式中的一次项之积的代数和.含x的项为CxC25+C1Cx24=240x.解法二：（x2+3x+2)5展开式中的一次项是5个括号中有1个括号内取3x，其他4个括号内取常数项2相乘得到的.即C3xC24=240x.绿色通道:对于二项式的展开式问题有两种思路：一是转化为二
8、项式（可因式分解）；二是利用组合及乘法原理（不能因式分解）.通常第二种思路更简捷.变式训练2.求（1+x)6(1-x)5展开式中含x3项的系数.解：（1+x)6(1-x)5=(1+x)(1-x2)5.在（1-x2)5展开式中含x2的项是C15-1(-x2)1,故(1+x)6(1-x)5的展开式中含x3项的系数为C（-1）=-5.【例3】设(3x-1)8=a8x8+a7x7+a1x+a0.求：（1）a8+a7+a1;(2)a8+a6+a4+a2+a0.分析：有关求系数和的问题，一般采用“赋值法”，令二项式中的项取一个或几个值，得到一个或几个等式，然后再根据需要求得结果.解：令x=0,得a0=1.
9、(1)令x=1，得(3-1)8=a8+a7+a1+a0a8+a7+a2+a1=28-a0=256-1=255.（2）令x=-1，得(-3-1)8=a8-a7+a6-a1+a0，+得28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0),a8+a6+a4+a2+a0= (28+48)=32 896.绿色通道:“赋值法”的模式揭示了人们由“一般认识到特殊认识”的重要思维理念，揭示了“特殊存在于一般之中”的辩证关系.变式训练3.求（1+2x+x2)10(1-x)5展开式中各项系数的和.解：（1+2x+x2)10(1-x)5=(1+x)20(1-x)5=(C+Cx+Cx2+Cx20)C+C(-x)+C (-x
10、)2+C(-x)5=A0+A1x+A2x2+A25x25.对于x取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1，则0=A0+A1+A2+A25.展开式中各项系数和为0.【例4】求（1+x)2+(1+x)3+(1+x)10展开式中x2项的系数.分析：把(1+x)n(2n10且nN)展开，找全x2项进行系数合并再进行处理.解：（1+x)2=1+C12x+Cx2，x2的系数为C，(1+x)3=1+x+C23x2+Cx3.x2的系数为C23.同理：（1+x)4展开式中x2项系数为C(1+x)10展开式中x2项系数为C.x2项的系数为C+C+C+C=C=165.展开式中x2项系数为165.绿色通道:综
11、合运用二项式定理问题，灵活运用展开式的通项公式进行求解.变式训练4.在(1+x)+(1+x)2+(1+x)6展开式中，x2项的系数是_.（用数字作答）解：C+C+C=C+C+C=C=35.【例5】用二项式定理证明：32n+2-8n-9是64的倍数（nN).分析：变为二项式形式；与64联系上.证明：32n+2-8n-9=9n+1-8(n+1)-1=(8+1)n+1-8(n+1)-1=8n+1+C8n+C8n-1+C82+8+C-8(n+1)-1=82(8n-1+C+18n-2+C).括号内每一项都是自然数，和为自然数，上式是64的倍数，即32n+2-8n-9是64的倍数.绿色通道:利用二项式定理
12、可以求余数和证明整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.变式训练5.9192除以100的余数是多少？解法一：9192=(100-9)92=10092-C100919+C1009092-C100991+992，前面各项均能被100整除，只有末项992不能被100整除，于是求992除以100的余数.992=(10-1)92=1092-C1091+C1090-+C102-C10+(-1)92=1092-C1091+C1090-+C102-920+1= (1092-CC+C1090-+C102-1 000)+81，被100除的余数为81，即9192除以100的余数为81.解法二：9192=(90+1)92=C9092+C9091+C902+C90+1，由于前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，由于C90+1=8 281=8 200+81，被100除余81.