1、课时作业 25 正弦定理、余弦定理一、选择题1在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a 13，b3，A60，则边 c 等于(C)A1B2C4D6解析：a2c2b22cbcosA，13c292c3cos60，即 c23c40，解得 c4 或 c1(舍去)2在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 c2，b2 3，C30，则 B 等于(D)A30B60C30或 60D60或 120解析：c2，b2 3，C30，由正弦定理可得 sinBbsinCc2 3122 32，由 bc，可得 30B0，则ABC 一定是锐角三角形解析：由 acosA bcosBccos
2、C，利用正弦定理可得sinAcosAsinBcosBsinCcosC，即 tanAtanBtanC，ABC，ABC 是等边三角形，A 正确；由正弦定理可得 sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B,2A2B 或2A2B，ABC 是等腰或直角三角形，B 不正确；由正弦定理可得 sinBcosCsinCcosBsinB，即 sin(BC)sinB，sinAsinB，则 AB，ABC 是等腰三角形，C 正确；由余弦定理可得 cosCa2b2c22ab0，角 C 为锐角，角 A，B 不一定是锐角，D 不正确，故选 AC二、填空题8(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为
3、a，b，c.已知 bsinAacosB0，则 B34.解析：解法 1：依题意与正弦定理得 sinBsinAsinAcosB0，即sinBcosB，则 tanB1.又 0B，所以 B34.解法 2：由正弦定理得 bsinAasinB，又 bsinAacosB0，所以asinBacosB0，即 sinBcosB，则 tanB1.又 0B，所以 B34.9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若(a2c2b2)tanB 3ac，则角 B 的值为3或23.解析：由余弦定理，得a2c2b22accosB，结合已知等式得 cosBtanB 32，sinB 32，又 0B，B3或23.10
4、(多填题)(2019浙江卷)在ABC 中，ABC90，AB4，BC3，点 D 在线段 AC 上若BDC45，则 BD12 25，cosABD7 210.解析：在 RtABC 中，易得 AC5，sinCABAC45.在BCD 中，由正弦定理得 BDBCsinBDCsinBCD 3224512 25，sinDBCsin(BCDBDC)sin(BCDBDC)sinBCDcosBDCcosBCDsinBDC45 22 35 22 7 210.又ABDDBC2，所以 cosABDsinDBC7 210.11若 E，F 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 上的三等分点，则tanECF34.解析：如图，设
5、 AB6，则 AEEFFB2.因为ABC 为等腰直角三角形，所以 ACBC3 2.在ACE 中，A4，AE2，AC3 2，由余弦定理可得 CE 10.同理，在BCF 中可得 CF 10.在CEF 中，由余弦定理得cosECF 101042 10 1045，sinECF 1cos2ECF35，所以 tanECF34.三、解答题12(2019天津卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 bc2a,3csinB4asinC(1)求 cosB 的值；(2)求 sin2B6 的值解：(1)在ABC 中，由正弦定理 bsinB csinC，得 bsinCcsinB，又由 3csi
6、nB4asinC，得 3bsinC4asinC，即 3b4a.又因为 bc2a，得到 b43a，c23a.由余弦定理可得 cosBa2c2b22aca249a2169 a22a23a14.(2)由(1)可得 sinB 1cos2B 154，从而 sin2B2sinBcosB 158，cos2Bcos2Bsin2B78，故 sin2B6 sin2Bcos6cos2Bsin6 158 32 78123 5716.13在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，c2.(1)若 A3，b3，求 sinC 的值；(2)若 sinAcos2B2sinBcos2A23sinC，且ABC 的面积
7、S252 sinC，求 a 和 b 的值解：(1)由余弦定理 a2b2c22bccosA，得 a294232127，所以 a 7，由正弦定理 asinA csinC，得 sinC 217.(2)由已知得 sinA1cosB2sinB1cosA23sinC，sinAsinAcosBsinBsinBcosA6sinC，sinAsinBsin(AB)6sinC，sinAsinB5sinC，所以 ab5c10.又 S12absinC252 sinC，所以 ab25.由解得 ab5.14已知函数 f(x)4sinxcosx6.(1)求 f(x)的单调递增区间；(2)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分
8、别为 a，b，c.若 fA21，a2，求ABC 面积的最大值解：(1)函数 f(x)4sinxcosx64sinx32 cosx12sinx434 sin2x121cos2x22sin2x6 1.令 2k22x62k2，kZ，求得 k6xk3，kZ，可得函数 f(x)的单调递增区间为k6，k3，kZ.(2)在ABC 中，因为 fA2 2sinA6 11，所以 sinA6 0，又 0A，所以 A6.所以ABC 的面积为12bcsinAbc4.因为 a2，所以由余弦定理可得 a24b2c2 3bc2bc 3bc，所以 bc42 34(2 3)，当且仅当 bc42 3时等号成立所以ABC 的面积为1
9、2bcsinAbc4 2 3，故ABC 面积的最大值为 2 3.15在如图所示的ABC 中，CAB，角 B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosCAB34，B2CAB，b3.(1)求 a；(2)已知点 M 在边 BC 上，且 AM 平分BAC，求ABM 的面积解：(1)由 0CAB，cosCAB34，得 sinCAB 74，所以sinBsin2CAB2sinCABcosCAB2 74 343 78.由正弦定理asinCAB bsinB，可得 absinCABsinB2.(2)cosBcos2CAB2cos2CAB12342118.在ABC中，由余弦定理 b2a2c22accosB，得 2c2c100，解得 c52或 c2(舍去)所以 SABC12bcsinCAB15 716.因为SACMSABM|CM|BM|AC|AB|35265，所以 SABM 511SABC 51115 716 75 7176.