1、9.3 圆的方程一、选择题1已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2Cx2y21 Dx2y24解析AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|2，圆的方程为：x2y22.答案A2以抛物线y24x的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为()Ax2y22x10 Bx2y22x30Cx2y22x10 Dx2y22x30解析 抛物线y24x的焦点是(1,0)，圆的标准方程是(x1)2y24.展开得x2y22x30.答案 B3已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21B(x2)2(y2)21
2、C(x2)2(y2)21D(x2)2(y2)21解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不变设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有解得对称圆的半径不变，为1.答案B4直线yx1上的点到圆x2y24x2y40的最近距离为()A2 B.1C21 D1解析 圆心(2,1)到已知直线的距离为d2，圆的半径为r1，故所求距离dmin21.答案 C 5点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21解析设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得
3、因为点Q在圆x2y24上，所以xy4，即(2x4)2(2y2)24，即(x2)2(y1)21.答案A6若圆(x3)2(y5)2r2上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1，则半径r的取值范围是()A(4,6) B4,6) C(4,6 D4,6解析因为圆心(3，5)到直线4x3y20的距离为5，所以当半径r4时，圆上有1个点到直线4x3y20的距离等于1，当半径r6时，圆上有3个点到直线4x3y20的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x3y20的距离等于1时，4r6.答案A7如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是z小圆的一条固定直径的两个端点那么
4、，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是()解析如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O.设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M，则大圆圆弧 的长与小圆圆弧 的长之差为0或2.切点A在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2.以切点A在第三象限为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记AOM，则OM1O1M1OO1，故M1O1AM1OO1OM1O12.大圆圆弧 的长为l122，小圆圆弧 的长为l2212，则l1l2，即小圆的两段圆弧 与 的长相等，故点M1与点M重合即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点
5、N在线段OB上运动点A在其他象限类似可得，故M，N的轨迹为相互垂直的线段观察各选项知，只有选项A符合故选A.答案A二、填空题8已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_解析线段AB的中垂线方程为2xy40，与x轴的交点(2,0)即为圆心C的坐标，所以半径为|CB|，所以圆C的方程为(x2)2y210.答案(x2)2y2109过两点A(0,4)，B(4,6)，且圆心在直线x2y20上的圆的标准方程是_解析 设圆心坐标为(a，b)，圆半径为r，则圆方程为(xa)2(yb)2r2，圆心在直线x2y20上，a2b20，又圆过两点A(0,4)，B(4,6)，(0a)2(4b
6、)2r2，且(4a)2(6b)2r2，由得：a4，b1，r5，圆的方程为(x4)2(y1)225.答案 (x4)2(y1)22510已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)P是圆C上的动点，当|PA|2|PB|2取最大值时，点P的坐标是_解析 设P(x0，y0)，则|PA|2|PB|2x(y01)2x(y01)22(xy)2，显然xy的最大值为(51)2，dmax74，此时6，结合点P在圆上，解得点P的坐标为.答案 11已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值为_解析lAB：xy20，圆心(1,0)到lAB的距离d，AB边
7、上的高的最小值为1.Smin(2)3.答案312设圆C同时满足三个条件：过原点；圆心在直线yx上；截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是_解析 由题意可设圆心A(a，a)，如图，则22222a2，解得a2，r22a28.所以圆C的方程是(x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.答案 (x2)2(y2)28或(x2)2(y2)28.三、解答题13经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)的圆的标准方程解法一设圆的一般方程为：x2y2DxEyF0，则解得D2，E4，F95，所求圆的方程为x2y22x4y950，即圆的标准方程为：(x1)2(y2)2100.法二由A(1,12)，B(7
8、,10)，得A、B的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的中垂线方程为：3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30，联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10.所求圆的标准方程为：(x1)2(y2)2100.14已知圆C的方程为x2y2(m2)x(m1)ym20，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近解析 (1)因为(m2)2(m1)24(m2)2m26m13220恒成立，无论m为何值，方程总表示圆圆心坐标，圆的半径为r.圆的半径最小时，面积最小，r，当且仅当m时，等号成立，此时面积最小所以当圆的面积最小时，圆心坐标为，半径r.
9、(2)圆心到坐标原点的距离d.当且仅当m时，距离最近此时，圆心坐标为，半径r.15求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截得的弦长为2的圆的方程解析法一设所求的圆的方程是(xa)2(yb)2r2，则圆心(a，b)到直线xy0的距离为，r22()2，即2r2(ab)214，由于所求的圆与x轴相切，r2b2.又因为所求圆心在直线3xy0上，3ab0.联立，解得a1，b3，r29或a1，b3，r29.故所求的圆的方程是(x1)2(y3)29或(x1)2(y3)29.法二设所求的圆的方程是x2y2DxEyF0，圆心为，半径为.令y0，得x2DxF0，由圆与x轴相切，得0，即D24F.又圆心
10、到直线xy0的距离为.由已知，得2()2r2，即(DE)2562(D2E24F)又圆心在直线3xy0上，3DE0.联立，解得D2，E6，F1或D2，E6，F1.故所求圆的方程是x2y22x6y10，或x2y22x6y10.16已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值思路分析第(2)问画出曲线C及l1的图象，结合条件断定|QM|取最小值的情况解析(1)设点P的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，由直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|，当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4， 此时|QM|的最小值为4.【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面：(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(2)研究图形的形状、位置关系、性质等