1、第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程2.2.2 直线方程的几种形式第二课时 直线方程的一般式自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1掌握直线方程的一般式，明确各系数的意义2掌握一般式与其他形式的互化3了解二元一次方程与直线的对应关系.1一般式方程(1)定义：关于 x，y 的二元一次方程_(其中 A，B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式(2)斜率：直线 AxByC0(A，B 不同时为 0)，当 B0时，其斜率是_，在 y 轴上的截距是_；当 B0 时，这条直线垂直于_轴，没有斜率AxByC0ABCBx2直线方程的一般式向其他形式的转化形式方程转化条件一般式AxByC
2、0斜截式yABxCBB0点斜式y(CB)AB(x0)B0截距式xCA yCB1A，B，C 均不为零3.直线的五种方程及比较名称方程常数的几何意义适用条件一般情况yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k 是斜率直线不垂直于 x 轴点斜式斜截式ykxbk 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距直线不垂直于 x 轴 名称方程常数的几何意义适用条件一般情况yy1y2y1 xx1x2x1(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于 x 轴和 y 轴两点式截距式xayb1a，b 分别是直线在 x轴，y 轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点名称方程常数的几何意义适
3、用条件一般式AxByC0A，B 不同时为 0A，B，C 为系数任何情况xa(y 轴：x0)垂直于 x 轴且过点(a,0)斜率不存在特殊直线yb(x 轴：y0)垂直于 y 轴且过点(0，b)斜率 k01直线 xy30 的倾斜角是()A30 B45C60 D135答案：B2过点 M(4,3)和 N(2,1)的直线方程是()Axy30 Bxy10Cxy10 Dxy30解析：直线方程为y131 x242，即 xy10，故选 B答案：B3经过点(2,3)，(1,6)的直线的方程是_解析：直线的方程为y363x212，得 3xy90.答案：3xy90典例精析 规律总结课堂互动探究1求直线的方程类型 根据下
4、列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为 3，且经过点 A(5,3)；(2)过点 B(3,0)，且垂直于 x 轴；(3)在 y 轴上的截距为 3，且平行于 x 轴；(4)经过 C(1,5)，D(2，1)两点【解】(1)y3 3(x5)，则 3xy5 330.(2)x3，则 x30.(3)y3，则 y30.(4)y151 x212，2xy30.【知识点拨】利用直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式求解直线的方程时，一定要注意每种方程形式的适用范围，要注意对斜率是否存在，截距是否为 0 进行分类讨论，最后将方程形式转化为一般式 根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式(1)斜率是
5、12，经过点 A(8，2)；(2)经过点 B(4,2)，平行于 x 轴；(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是32，3；(4)经过两点 P1(3，2)，P2(5，4)解：(1)由点斜式得 y(2)12(x8)化成一般式为 x2y40.(2)由斜截式得 y2，即一般式为 y20.(3)由截距式得x32 y31.即一般式为 2xy30.(4)由两点式得 y242x353，即一般式为 xy10.2直线方程一般式与其他形式的转化类型 设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(aR)，(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围【解】(1)当
6、直线 l 过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，显然相等，所以 a2，方程为 3xy0；由题可知 a10，即 a1.当 a2 时，由a2a1a2，解得 a0，所以直线 l 的方程为 xy20.综上所述，所求直线 l 的方程为 3xy0 或 xy20.(2)将直线 l 的方程化为 y(a1)xa2，所以a10，a20或a10，a20，解得 a1.【知识点拨】把直线方程的一般式 AxByC0 化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当 B0 时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式 直线 3xya0(a 为常数)的倾斜角为()A30 B60C150 D120解析：
7、3xya0 可得 y 3xa，即直线的斜率为 3，倾斜角为 60，故选 B答案：B 直线 mxn2y10 在 y 轴上的截距是1，且它的倾斜角是直线 3xy3 30 的倾斜角的 2 倍，则()Am 3，n2Bm 3，n2Cm 3，n2Dm 3，n2解析：令 x0，n2y10，y2n，2n1，n2，直线 3xy3 30 的倾斜角为 60，所以直线 mxn2y10的倾斜角为 120，斜率为 3，mn2 3，m 3，故选 B答案：B3直线方程的综合应用类型 直线(2m1)x(m1)y7m40 过定点()A(1，3)B(4,3)C(3,1)D(2,3)【解析】解法一：直线方程可化为 m(2xy7)xy
8、40，则由2xy70，xy40得 x3，y1，直线过定点(3,1)，故选 C解法二：令 m0，则 xy40，令 m1，则x30.由可得 x3，y1，直线过定点(3,1)，故选 C【答案】C【知识点拨】本题考查直线过定点问题，体现了函数与方程的思想，解法一使含参数 k 的系数为 0 即可，解法二转化为求两直线的交点 已知直线 l：5ax5ya30.(1)求证：不论 a 为何值，直线 l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求 a 的取值范围解：(1)证明：证法一：将直线 l 的方程整理为 y35ax15，l 的斜率为 a，且过定点 A15，35，而点 A15，35 在第一象限，故不论
9、a 为何值，l 恒过第一象限证法二：直线 l 的方程可化为(5x1)a(5y3)0.上式对任意的 a 总成立，必有5x10，5y30，即x15，y35.即 l 过定点 A15，35.以下同证法一(2)直线 OA 的斜率为 k3501503.要使 l 不经过第二象限，需它在 y 轴上的截距不大于零，即令 x0 时，ya35 0，a3.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 一般式方程1如果 AC0，BC0，那么直线 AxByC0 不通过()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析：AxByC0 可化为 yABxCB，AC0，BC0，CB0，AB0，直线不过第三象限，故选 C答案：C2下列直线
10、中，斜率为43，且不经过第一象限的是()A3x4y70 B4x3y70C4x3y420 D3x4y420解析：3x4y70 可化为 y34x74，k34；4x3y70 可化为 y43x73，k43，b730，不经过第一象限，故选 B答案：B3如图所示，直线 l1：axyb0 与 l2：bxya0(ab0，ab)的图象只可能是()解析：l1：yaxb，表示斜率为 a，在 y 轴上截距为 b 的直线；l2：ybxa，表示斜率为 b，在 y 轴上截距为 a 的直线A 图中由 l1 可知 a0，b0，相矛盾；同理排除 B、C答案：D知识点二 一般式方程的综合应用4若 m 取任何实数，直线 l：mxy12m0 恒过一定点，则该点的坐标为_解析：mxy12m0 可化为 y1m(x2)，直线恒过定点(2,1)答案：(2,1)5直线 ax6y12a0(a0)在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的 3 倍，求 a 的值及直线的斜率解：当 x0 时，y2a，当 y0 时，x12，2a312，a2，斜率 ka613.a 为2，直线的斜率为13.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块