1、2.8 函数与方程一、选择题1.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() 解析 能用二分法求零点的函数必须在给定区间a，b上连续不断，并且有f(a)f(b)0.A、B选项中不存在f(x)0，a1)，那么函数f(x)的零点个数是()A0个 B1个C2个 D至少1个答案 D解析 在同一坐标系中作出函数yax与yxa的图象，a1时，如图(1)，0a0，即m240，解得m2或m2.答案：C5. 函数的零点所在的区间为( )A.(-1,0) B.( 0,1) C.(1,2) D.(2,3)答案B6方程x2x10的解可视为函数yx的图象与函数y的图象交点的横坐标，若x4ax40的各个实根
2、x1，x2，xk(k4)所对应的点(i1,2，k)均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是()AR B C(6,6) D(，6)(6，)解析(转化法)方程的根显然x0，原方程等价于x3a，原方程的实根是曲线yx3a与曲线y的交点的横坐标；而曲线yx3a是由曲线yx3向上或向下平移|a|个单位而得到的若交点(i1,2，k)均在直线yx的同侧，因直线yx与y交点为：(2，2)，(2,2)；所以结合图象可得：或a(，6)(6，)；选D.答案D【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.7已知函数f(x)xexax1，则关于f(x)零点叙述正确的是()A当a0时，函数f(x)有两个零点B函数f(x)
3、必有一个零点是正数C当a0时，函数f(x)有两个零点D当a0时，函数f(x)只有一个零点解析f(x)0exa在同一坐标系中作出yex与y的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确答案B二、填空题8已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范围是_解析：画出图象，令g(x)f(x)m0，即f(x)与ym的图象的交点有3个，0m1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，求的取值范围. 分析欲求的取值范围，很容易联想到基本不等式，于是需探讨m、n之间的关系，观察f(x)与g(x)的表达式，根据函数零点的意义，可以把题目中两个函数的零点和转化为
4、指数函数yax和对数函数ylogax与直线yx4的交点的横坐标，因为指数函数yax和对数函数ylogax互为反函数，故其图象关于直线yx对称，又因直线yx4垂直于直线yx，指数函数yax和对数函数ylogax与直线yx4的交点的横坐标之和是直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，这样即可建立起m，n的数量关系式，进而利用基本不等式求解即可解析 令axx40得axx4，令logaxx40得logaxx4，在同一坐标系中画出函数yax，ylogax，yx4的图象，结合图形可知，nm为直线yx与yx4的交点的横坐标的2倍，由，解得x2，所以nm4，因为(nm)114，又nm，故(nm)4，则1.15已
5、知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点思路分析由题意可知，方程4xm2x10仅有一个实根，再利用换元法求解解析f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，即方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0时，即m240，m2时，t1；m2时，t1(不合题意，舍去)，2x1，x0符合题意当0时，即m2或m2时，t2mt10有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点这种情况不符合题意综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为x0.【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来
6、解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题16 (1)m为何值时，f(x)x22mx3m4.有且仅有一个零点；有两个零点且均比1大；(2)若函数f(x)|4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解析(1)f(x)x22mx3m4有且仅有一个零点方程f(x)0有两个相等实根0，即4m24(3m4)0，即m23m40，m4或m1.法一设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1x22m，x1x23m4.由题意，在5m1.故m的取值范围为(5，1)法二由题意，知即5m1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象由图象可知，当0a4，即4a0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点故a的取值范围为(4,0)