1、天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共40分）1（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i2（3分）“a3b3”是“log3alog3b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A2B3C4D54（3分）若9、a、l成等差数列，9、m、b、n、1成等比数列，则ab=（）A15Bl5Cl5D105（3分）已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）ABC2D6（3
2、分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，nm则nB若，则C若m，n则mnD若m，m，则7（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设an=g（n）g（n1）（nN*），则数列an是（）A等差数列B等比数列C递增数列D递减数列8（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，ABC=90，ACD是正三角形，则的值为（）A2B2CD二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、20
3、15届高三分别有学生800名、600名、500名若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取名10（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为11（5分）已知=（3，2）.=（1，0），向量与2垂直，则实数的值为12（5分）对于任意xR，满足（a2）x2+2（a2）x40恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x4|+|x3|a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则ARB=13（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为14（5分）若a是1+2b与
4、12b的等比中项，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（16分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域16（16分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）a和c的值；（）cos（BC）的值17（16分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED（）求证：PA平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值；（）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F
5、点的位置，并证明；若不存在，说明理由18（16分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设的前n项和Sn19（16分）已知数列an，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1（n+3）Sn=0，（）求an的通项公式；（）若bn=4（）2，求数列（1）nbn的前n项和Tn；（）设Cn=2n（），若数列Cn是单调递减数列，求实数的取值范围20（16分）已知函数f（x）=（x23x+3）ex定义域为2，t（t2），设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：nm；（）求证
6、：对于任意的t2，总存x0（2，t），满足，并确定这样的x0的个数天津市南开大学附属中学2015届高三上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1（3分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i考点：复数相等的充要条件 专题：数系的扩充和复数分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z的值解答：解：复数z满足（3+4i）z=25，则z=34i，故选：A点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（3分）“a3b3”是“log3alog3b”的（
7、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：根据指数函数和对数函数的图象和性质，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义可得答案解答：解：“a3b3”“ab”，“log3alog3b”“ab0”，故“a3b3”是“log3alog3b”的必要不充分条件，故选：B点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且
8、qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系3（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）A2B3C4D5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B（1，1）时，直线y=的截距最小，此时z最小此时z的最小值为z=1+21=3，故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性
9、规划题目的常用方法4（3分）若9、a、l成等差数列，9、m、b、n、1成等比数列，则ab=（）A15Bl5Cl5D10考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列与等比数列的性质可求得a=5，b=3，从而可得答案解答：解：9、a、l成等差数列，9、m、b、n、1成等比数列，2a=19=10，b2=9，a=5，b=3（b为第三项，b0），ab=15故选： A点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，b=3的确定是易错点，属于中档题5（3分）已知函数y=2sinx的定义域为a，b，值域为2，1，则ba的值不可能是（）ABC2D考点：三角函数的最值 专题：计算题分析
10、：结合三角函数R上的值域2，2，当定义域为a，b，值域为2，1，可知a，b小于一个周期，从而可得解答：解：函数y=2sinx在R上有2y2函数的周期T=2值域2，1含最小值不含最大值，故定义域a，b小于一个周期ba2故选C点评：本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域2，2，而在区间a，b上的值域2，1，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果6（3分）已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A若m，nm则nB若，则C若m，n则mnD若m，m，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空
11、间位置关系与距离分析：对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项解答：解：对于A，直线n有可能在平面内；故A 错误；对于B，还有可能相交，故B 错误；对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，有可能相交故选C点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题7（3分）已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，设an=g（n）g（n1）（nN*），则数列an是（）A等差数列B等比数列C递增数列D递减数列考点：等比关系的确定 专题：计算题分析：根据g（n）的通项公式可求得g（1），g（
12、2），g（3）直至g（n），进而可求a1，a2，a3，an进而发现数列an是等比数列解答：解：已知f（x）=bx+1为x的一次函数，b为不等于1的常数，且g（n）=，则g（1）=b+1，g（2）=b2+b+1，g（3）=b3+b2+b+1，g（n）=bn+b2+b+1a1=b，a2=b2，a3=b3，an=bn故数列an是等比数列点评：本题主要考查等比关系的确定属基础题8（3分）在平面四边形ABCD中，AB=3，BC=4，ABC=90，ACD是正三角形，则的值为（）A2B2CD考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：如图所示，建立直角坐标系取AC的中点E，连接DE，BE由A（0，
13、3），C（4，0），可得由于，可得=0利用=即可得出解答：解：如图所示，建立直角坐标系取AC的中点E，连接DE，BEA（0，3），C（4，0），=0=8=故选：C点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、数量积运算性质、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9（5分）为了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三分别有学生800名、600名、500名若2015届高三学生共抽取25名，则2014-2015学年高一学生共抽取40名考点：分层
14、抽样方法 专题：概率与统计分析：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等求解解答：解：根据分层抽样在各部分抽取的比例相等，分层抽样抽取的比例为=，2014-2015学年高一应抽取的学生数为800=40故答案为：40点评：本题考查了分层抽样的定义，熟练掌握分层抽样的特征是关键10（5分）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球代入长方体的体积公式和球的体积公式，即可得到答案解答：由三视图可知，该几何体时一个边长为2，2，1的长方体挖去一个半径为1的半球所以长方体的体积为2
15、21=4，半球的体积为，所以该几何体的体积为故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图判断出几何体的形状是解题的关键11（5分）已知=（3，2）.=（1，0），向量与2垂直，则实数的值为考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：由题意得 （）（2）= +（12）2=13+3（12）2=0，解得值，即为所求解答：解：由题意得 （）（2）= +（12）2=13+3（12）2=0，解得 =，故答案为点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得13+3（12）2=0，是解题的关键12（5分）对于任意xR，满足（a2）x2+2（a2）x
16、40恒成立的所有实数a构成集合A，使不等式|x4|+|x3|a的解集为空集的所有实数a构成集合B，则ARB=（1，2考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：分a2为0与不为0两种情况求出（a2）x2+2（a2）x40恒成立a的范围，确定出A，求出使不等式|x4|+|x3|a的解集为空集的所有实数a的集合确定出B，求出B补集与A的交集即可解答：解：（a2）x2+2（a2）x40，当a2=0，即a=2时，40，满足题意；当a20，即a2时，根据题意得到二次函数开口向下，且与x轴没有交点，即a20，=4（a2）2+16（a2）0，解得：a2，2a2，综上，a的范围为2a2，即A=（2，2，使不
17、等式|x4|+|x3|a的解集为空集的所有实数a构成的B=（，1），RB=1，+），则ARB=（1，2故答案为：（1，2点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键13（5分）如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为4考点：与圆有关的比例线段 专题：计算题分析：连接OC，BE，由圆角定定理，我们可得BEAE，直线l是过C的切线，故OC直线l，OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质及30所对的直角边等于斜边的一半，我们易求出线段AE的长解答：解：连接OC，BE，如下图
18、所示：则圆O的直径AB=8，BC=4，OBC为等边三角形，COB=60又直线l是过C的切线，故OC直线l又AD直线lADOC故在RtABE中A=COB=60AE=AB=4故答案为：4点评：本题考查的知识点是切线的性质，圆周角定理，其中根据切线的性质，圆周角定理，判断出ABE是一个B=30的直角三角形是解答本题的关键14（5分）若a是1+2b与12b的等比中项，则的最大值为考点：等比数列的性质 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：由a是1+2b与12b的等比中项得到4|ab|1，再由基本不等式法求得的最大值解答：解：a是1+2b与12b的等比中项，则a2=14b2a2+4b2=14|ab|a2
19、+4b2=（|a|+2|b|）24|ab|=1=4，的最大值为=故答案为：点评：本题考查等比中项以及不等式法求最值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（16分）已知函数（）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；（）求函数f（x）在区间上的值域考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）先根据两角和与差的正弦和余弦公式将函数f（x）展开再整理，可将函数化简为y=Asin（wx+）的形式，根据T=可求出最小正周期，令，求出x的值即可得到
20、对称轴方程（2）先根据x的范围求出2x的范围，再由正弦函数的单调性可求出最小值和最大值，进而得到函数f（x）在区间上的值域解答：解：（1）=sin2x+（sinxcosx）（sinx+cosx）=周期T=由函数图象的对称轴方程为（2），因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当时，f（x）取最大值1，又，当时，f（x）取最小值，所以函数f（x）在区间上的值域为点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及正弦函数的基本性质最小正周期、对称性、和单调性考查对基础知识的掌握情况16（16分）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且ac，已知=2，cosB=，b=3，求：（）
21、a和c的值；（）cos（BC）的值考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：（）利用平面向量的数量积运算法则化简=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值解答：解：（）=2，cosB=，cacosB=2，即ac=6，b=3，由余弦定理得：b2=a2+c22
22、accosB，即9=a2+c24，a2+c2=13，联立得：a=3，c=2；（）在ABC中，sinB=，由正弦定理=得：sinC=sinB=，a=bc，C为锐角，cosC=，则cos（BC）=cosBcosC+sinBsinC=+=点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键17（16分）如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PACD，PA=1，PD=，E为PD上一点，PE=2ED（）求证：PA平面ABCD；（）求二面角DACE的余弦值；（）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF平面AEC？若存在，指出F点的位置，并
23、证明；若不存在，说明理由考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定 专题：计算题；证明题；综合题分析：（I）根据勾股定理的逆定理，得到PAD是以PD为斜边的直角三角形，从而有PAAD，再结合PACD，AD、CD 相交于点D，可得PA平面ABCD；（II）过E作EGPA 交AD于G，连接BD交AC于O，过G作GHOD，交AC于H，连接EH利用三垂线定理结合正方形ABCD的对角线互相垂直，可证出EHG为二面角DACE的平面角分别在PAB中和AOD中，求出EH=，GH=，在RtEHG中利用三角函数的定义，得到tanEHG=最后由同角三角函数的关系，计算得cosEHG=
24、（III）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系分别给出点A、B、C、P、E的坐标，从而得出=（1，1，0），=（0， ），利用向量数量积为零的方法，列方程组可算出平面AEC的一个法向量为=（1，1，2 ）假设侧棱PC上存在一点F，使得BF平面AEC，则=+=（，1，），且有=0所以=+12=0，解之得=，所以存在PC的中点F，使得BF平面AEC解答：解：（）PA=AD=1，PD=，PA2+AD2=PD2，可得PAD是以PD为斜边的直角三角形PAAD（2分）又PACD，AD、CD 相交于点D，PA平面ABCD（4分）（）过E作EGPA 交AD于G，EGPA，PA平面ABCD，E
25、G平面ABCD，PAB中，PE=2EDAG=2GD，EG=PA=，（5分）连接BD交AC于O，过G作GHOD，交AC于H，连接EHODAC，GHODGHACEG平面ABCD，HG是斜线EH在平面ABCD内的射影，EHAC，可得EHG为二面角DACE的平面角（6分）RtEGH中，HG=OD=BD=，可得tanEHG=由同角三角函数的关系，得cosEHG=二面角DACE的平面角的余弦值为（8分）（）以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），E（0，），=（1，1，0），=（0， ）（9分）设平面AEC的法向量=（
26、x，y，z），根据数量积为零，可得，即：，令y=1，得=（1，1，2 ）（10分）假设侧棱PC上存在一点F，且=，（01），使得：BF平面AEC，则=0又=+=（0，1，0）+（，）=（，1，），=+12=0，=，所以存在PC的中点F，使得BF平面AEC（13分）点评：本题给出一个特殊的棱锥，通过证明线面垂直和求二面角的大小，着重考查了用空间向量求平面间的夹角、直线与平面平行的判定与性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题18（16分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项（）求数列an的通项公式；（）设的前n项和Sn考点：等差数列
27、与等比数列的综合；数列的求和 专题：计算题分析：（I）根据a3+2是a2，a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；（II）先求出数列bn的通项公式，然后求出Sn（2Sn），即可求得的前n项和Sn解答：解：（I）设等比数列an的首项为a1，公比为qa3+2是a2，a4的等差中项2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8a2+a4=20或数列an单调递增an=2n（II）an=2nbn=n2nsn=12+222+n2n 2sn=122+223+（n1）2n+n2n+1 得，sn=2+22+23+2nn2n+1=2
28、n+1n2n+12点评：本题考查了等比数列的通项公式以及数列的前n项和，对于等差数列与等比数列乘积形式的数列，求前n项和一般采取错位相减的办法19（16分）已知数列an，a1=1，前n项和Sn满足nSn+1（n+3）Sn=0，（）求an的通项公式；（）若bn=4（）2，求数列（1）nbn的前n项和Tn；（）设Cn=2n（），若数列Cn是单调递减数列，求实数的取值范围考点：数列的求和；数列的函数特性；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）对已知等式整理成数列递推式，然后用叠乘法，求得Sn，最后利用an=SnSn1求得答案（）根据（）中an，求得bn，设出Cn，分n为偶数和奇数时的Tn（）
29、根据数列为递减数列，只需满足Cn+1Cn0，求得的最大值，即可求得的范围解答：解：（）由已知=，且S1=a1=1，当n2时，Sn=S1=1=，S1也适合，当n2时，an=SnSn1=，且a1也适合，an=（）bn=4（）2=（n+1）2，设Cn=（1）n（n+1）2，当n为偶数时，Cn1+Cn=（1）n1n2+（1）n（n+1）2=2n+1，Tn=（C1+C2）+（C3+C4）+（Cn1+Cn）=5+9+（2n1）=，当n为奇数时，Tn=Tn1+Cn=（n+1）2=，且T1=C1=4也适合综上得Tn=（）Cn=2n（），使数列Cn是单调递减数列，则Cn+1Cn=2n（）0，对nN*都成立，则（
30、）max，=，当n=1或2时，（）max=，点评：本题主要考查了数列的求和问题，求数列通项公式问题对于利用an=SnSn1一定要a1对进行验证20（16分）已知函数f（x）=（x23x+3）ex定义域为2，t（t2），设f（2）=m，f（t）=n（）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在2，t上为单调函数；（）求证：nm；（）求证：对于任意的t2，总存x0（2，t），满足，并确定这样的x0的个数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 专题：压轴题分析：（）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定t的取值范围，（）运用函数的极小值进行证明，（）首先对关系式进
31、行化简，然后利用根与系数的关系进行判定解答：（）解：因为f（x）=（2x3）ex+（x23x+3）ex，由f（x）0x1或x0，由f（x）00x1，函数f（x）在（，0），（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，函数f（x）在2，t上为单调函数，2t0，（）证：因为函数f（x）在（，0）（1，+）上单调递增，在（0，1）上单调递减，所以f（x）在x=1处取得极小值e，又f（2）=13e2e，所以f（x）在2，+）上的最小值为f（2），从而当t2时，f（2）f（t），即mn，（）证：因为，即为x02x0=，令g（x）=x2x，从而问题转化为证明方程g（x）=0在（2，t）上有解并讨论解的个
32、数，因为g（2）=6（t1）2=，g（t）=t（t1）=，所以当t4或2t1时，g（2）g（t）0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且只有一解，当1t4时，g（2）0且g（t）0，但由于g（0）=0，所以g（x）=0在（2，t）上有解，且有两解，当t=1时，g（x）=x2x=0，解得x=0或1，所以g（x）=0在（2，t）上有且只有一解，当t=4时，g（x）=x2x6=0，所以g（x）=0在（2，t）上也有且只有一解，综上所述，对于任意的t2，总存在x0（2，t），满足，且当t4或2t1时，有唯一的x0适合题意，当1t4时，有两个x0适合题意点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力
