1、第二章 平面解析几何初步2.2 直线的方程2.2.2 直线方程的几种形式第一课时 直线的点斜式方程和两点式方程自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1了解点斜式方程的推导过程2会求点斜式、斜截式与两点式方程3了解斜截式与一次函数的关系.1直线的点斜式方程已知直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则方程_叫做直线的点斜式方程当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，过点 P0(x0，y0)的直线方程是 xx0；当直线 l 与 y 轴垂直时，斜率为 0，过点 P0(x0，y0)的直线方程是 yy0.yy0k(xx0)2直线的斜截式方程已知直线 l 过点 P0(0，b)，斜率为 k，则
2、方程_叫做直线的斜截式方程其中 k 为斜率，b 叫做直线在 y 轴上的截距，简称为直线的截距ykxb点拨：(1)一般地，直线 l 与 y 轴(或 x 轴)交点的纵坐标(或横坐标)叫做直线 l 在 y 轴(或 x 轴)上的截距，简称为纵截距(或横截距)(2)截距可取一切实数，即可为正数、零、负数；在此要区分开截距与距离，距离必须大于或等于零(3)求截距的方法：在直线 l 的方程中令 x0，解出 y 的值，即得直线 l 的纵截距；令 y0，解出 x 的值，即得直线 l 的横截距3直线的两点式方程已知两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，则方程 yy1y2y1 xx1x2
3、x1(x1x2，y1y2)叫做直线的两点式方程两点式方程变形为(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)时，此方程不再受 x1x2，且 y1y2 的限制，可表示过(x1，y1)，(x2，y2)的所有直线4直线的截距式方程已知直线 l 在 x 轴上的截距是 a，在 y 轴上的截距是 b，且a0，b0，则方程xayb1 叫做直线的截距式方程1经过点(3,2)，斜率为 3的直线方程为()Ay2 3(x3)By2 33(x3)Cy2 3(x3)Dy2 33(x3)答案：C2若经过原点的直线 l 与直线 y 33 x1 的夹角为 30，则直线 l 的倾斜角是()A0 B60C0或 60 D60或 90
4、解析：直线 y 33 x1 的斜率为 33，tan 33，30，倾斜角为 30，直线 l 的倾斜角为 60或 0.故选 C答案：C3经过点(1,1)，(2,4)的直线方程为_解析：y141x121，即 y3x2，即 3xy20.答案：3xy20典例精析 规律总结课堂互动探究1直线方程的点斜式、斜截式类型 求斜率是直线 y 3x1 的斜率的13倍，且分别满足下列条件的直线方程(1)经过点(3，1)；(2)在 y 轴上的截距是5.【分析】按照点斜式方程 yy0k(xx0)或斜截式方程 ykxb 解题【解】直线方程为 y 3x1 的斜率 k 3，根据题意知：所求直线的斜率 k 313 33.(1)直
5、线过点(3，1)，所求直线方程为 y1 33(x 3)，即 3x3y60.(2)直线在 y 轴上的截距为5，所求直线方程为 y 33 x5，即 x 3y5 30.【知识点拨】已知直线上一点的坐标以及直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，但要注意直线方程点斜式应在直线斜率存在的条件下使用 将直线 yx 31 绕点(1，3)沿逆时针方向旋转 15，则所得直线方程为_解析：直线 yx 31 的斜率为 1，所以其倾斜角为 45，将直线绕点(1，3)逆时针方向旋转 15，所得直线的倾斜角为60，斜率为 3，故所得直线方程为 y 3 3(x1)，即 3xy0.答案：3xy02直线的两点式、截距式方
6、程类型 已知ABC 的顶点 A(1，1)，线段 BC 的中点为D3，32.(1)求 BC 边上的中线所在直线的方程；(2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9，求 BC 所在直线的方程【分析】解答本题首先利用两点式求出直线 AD 的方程，然后利用所给条件求出直线 BC 在 x 轴、y 轴上的截距，表示出直线 BC 的方程【解】(1)解法一：线段 BC 的中点坐标为 D3，32，ABC 的顶点坐标 A(1，1)，由两点式得直线 AD 的方程y1321x131.即 BC 边上的中线方程为 5x4y90.解法二：本题也可由点斜式入手，由点斜式求出kAD3213154.AD 的方程为 y15
7、4(x1)即 5x4y90.(2)设直线 BC 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，由题意得 ab9.直线 BC 的截距式方程为xayb1，且点 D3，32 在直线 BC 上，3a 32b1，6b3a2ab.由联立得 2a221a540，即(2a9)(a6)0，解得 a92或 a6.因此，所求直线 BC 在两坐标轴上的截距为a92，b92，或a6，b3.直线 BC 的方程为2x9 2y9 1 或x6y31，即 2x2y90 或 x2y60.【知识点拨】已知两点的坐标，求此两点所在直线的方程时，可首先考虑两点式方程，若两点所在直线的斜率存在时，也可利用点斜式表示方程，若利用条件能
8、求出 x 轴、y 轴上的截距时，可用截距式表示方程 经过点 A(1,1)，并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有()A0 条 B1 条C2 条 D3 条解析：若在两坐标轴上的截距为 0，则该直线为 ykx，过(1,1)点，k1，直线方程为 yx.若截距相等且不为零，设直线为 xya，过(1,1)点，11a，而 a2，直线方程为 xy2.若截距互为相反数且不为零，设直线为 xyb，过(1,1)点，11b，b0(舍去)符合条件的直线有 2 条答案：C3直线方程的综合应用类型 求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12 的直线 l 的方程【分析】已知直线的斜率为34，可选直线的斜截式方程
9、 y34xb，然后根据条件“直线与坐标轴所围成的三角形的周长是 12”确定 b 的值【解】由已知，直线的斜率为34，可设直线 l 的方程为 y34xb.令 x0，得 yb；令 y0，得 x43b.由题意得|b|43b b243b 212.所以|b|43|b|53|b|12.所以 b3.所以所求直线方程为 y34x3，即 3x4y120 或 3x4y120.【知识点拨】本题是利用已知条件确定直线方程，体现了数学上的方程思想此类题目的解题方法通常是待定系数法，即设出所求直线方程，利用条件确定常数，进而求出方程，至于设何种形式，利用何种形式要因题而异 已知直线过点 P(2,2)且与两坐标轴所围成的三
10、角形面积为 1，求直线的方程解：解法一：由题可知，直线的斜率存在，则设直线方程为 y2k(x2)，令 x0，y2k2，令 y0，x2k2，则12|2k2|2k2 1，解得 k12或 k2，直线方程为 y212(x2)或 y22(x2)，即 y12x1 或 y2x2.解法二：设直线方程为xayb1，则2a 2b1，12|ab|1，解得a2，b1或a1，b2.直线方程：x2y11 或 x1 y21，即 x2y20 或2xy20.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 直线方程的斜截式1直线 y 3x 的倾斜角是()A6B56C3D23解析：由直线 y 3x 可知斜率为 3，故倾斜角为3.答案：C2
11、在同一直角坐标系下，表示直线 yax 和 yxa 正确的是()答案：C知识点二 直线方程的综合应用3过点 A(2,3)和点 B(4，1)的直线 l 与 x 轴，y 轴围成的三角形的面积为()A4 B494C494D4解析：直线 AB 的方程为 y13124(x4)，即 y2x7，当 x0 时，y7，得 C(0,7)；当 y0 时，x72，得 D72，0，SOCD12772494，故选 B答案：B4已知ABCD 的顶点 A(1,2)，B(2，1)，C(3，3)，则直线 BD 的方程为_解析：平行四边形 ABCD 两对角线 AC 与 BD 交点 M 为AC 的中点，M2，12，直线 BM 的方程为 x2，即直线 BD 的方程为 x20.答案：x20知识点三 直线方程的两点式5已知ABC 的三个顶点 A(1，1)，B(2,2)，C(4,1)，则BC 边上的中线所在的直线方程为_解析：BC 的中点为3，32，BC 边上的中线所在的直线方程为y1321x131，y54x94.答案：y54x94word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块