1、云南省大理州祥云县 2020-2021 学年高二上学期理数期末统测试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，则集合 （）A.B.C.D.2.已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值是（）A.B.C.D.3.在 中，分别为角 的对边，若 ，则 的周长为（）A.20B.30C.40D.254.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （）A.9B.11C.13D.155.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）A.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变B.先向左平移 个单
2、位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变C.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变D.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变6.执行如图 1 所示的程序框图，输出的结果为（）A.1958B.1960C.1988D.19907.已知 为实数，则下列不是 的一个必要不充分条件的是（）A.B.C.D.8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约 950 米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早 1000 多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组
3、为了测得天坛的直径，在天坛外围测得 米，米，米，据此可以估计天坛的最下面一层的直径 大约为（结果精确到 1 米）（参考数据：）（）A.39 米B.43 米C.49 米D.53 米9.各项均为正数的等比数列 中，则 （）A.256B.512C.1024D.204810.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上.若 ，则点 到 轴的距离为（）A.B.3C.D.11.平面向量 与 共线，则 的最小值为（）A.B.C.D.12.过点 的直线与抛物线 相交于 两点，若 ，则点 到抛物线 的焦点的距离为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸
4、上）13.已知函数 ，则 _14.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_15.已知数列 的首项为 ，前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和 _16.过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的一条渐近线相交于点 .若以 的右焦点 为圆心、半径为 3 的圆经过 两点（为坐标原点），则双曲线 的离心率为_三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在 中，内角 所对的边 满足 ，.（1）求 ；（2）若 ，求 的面积.18.已知圆 经过点 .（1）求圆 的方程；（2）设点 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 .若 ，求点 的坐标.19.数列 的前 项和为 ，且
5、 .（1）求 和 ；（2）求数列 的前 项和 .20.某班主任对本班 40 名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中 在纵轴上对应的高度分别为 ，0.02，0.0375，0.0175，如图 3 所示.（1）求实数 的值以及参加课外活动时间在 中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这 40 名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于 50 分钟的人（含男生甲）中任选 3 人，求其中的男生甲被选中的概率.21.如图所示，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，平面 ，为 的中点.（1）求证：平面 ；（2）求二面角 的
6、余弦值.22.已知椭圆 与直线 交于 两点，过原点 与线段 中点 的直线的斜率为 .（1）求椭圆 的离心率；（2）若椭圆 的短轴长为 ，点 为长轴的右顶点，求 的面积.答案解析部分一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 ，则集合 （）A.B.C.D.【答案】B 【考点】交集及其运算【解析】【解答】集合 ，集合 ，故答案为：B.【分析】化简集合 B，再根据交集的定义，即可得出答案。2.已知关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的值是（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解
7、析】【解答】由题意可知，3 和 4 是方程 的两根，且 ，解得 ，故答案为：D.【分析】由题意可知，3 和 4 是方程 的两根，再结合韦达定理即可得解.3.在 中，分别为角 的对边，若 ，则 的周长为（）A.20B.30C.40D.25【答案】A 【考点】余弦定理【解析】【解答】根据余弦定理，得 ，所以 ，则 的周长为 20，故答案为：A.【分析】由已知结合余弦定理即可直接求解.4.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （）A.9B.11C.13D.15【答案】C 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和【解析】【解答】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，由 ，得 ，解得 ，故答案为：
8、C.【分析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，利用等差数列通项公式和前 n 项和公式，列出方程组，求出 ,由此能求出 a7.5.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（）A.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变B.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变C.先向左平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变D.先向右平移 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变【答案】D 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换【解析】【解答】函数 ，所以将函数 的
9、图象向右平移 个单位，得到 的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 的图象.故答案为：D.【分析】直接利用三角函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果.6.执行如图 1 所示的程序框图，输出的结果为（）A.1958B.1960C.1988D.1990【答案】A 【考点】循环结构【解析】【解答】的初始值为 0，的初始值为 2020，；，；，；，；，成立，故输出的 的值为 1958.故答案为：A.【分析】根据程序框图代入 k 值逐一验证，可得答案。7.已知 为实数，则下列不是 的一个必要不充分条件的是（）A.B.C.D.【答案】B 【考点】对数函数的单调性与特殊点，不等式的
10、基本性质【解析】【解答】.易知 都是 的一个必要不充分条件.对于 同，由 不一定能得到 ，且由 不一定得到 ，故 是 的一个既不充分也不必要条件.故答案为：B.【分析】根据对数函数的单调性以及充分条件、必要条件的定义可得答案。8.如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约 950 米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早 1000 多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得 米，米，米，据此可以估计天坛的最下面一层的直径 大约为（结果精确到 1 米）（参考数据：）（）A.39 米B.43 米C.4
11、9 米D.53 米【答案】D 【考点】余弦定理【解析】【解答】在 中，所以 ，在 中，所以 （米）.故答案为：D.【分析】求出 AC，在 CDA 中，利用余弦定理即可求得 AD.9.各项均为正数的等比数列 中，则 （）A.256B.512C.1024D.2048【答案】B 【考点】等比数列的通项公式【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，显然 ，则由 ，可得 ，即 ，解得 （舍去），.故答案为：B.【分析】设等比数列 的公比为 ，显然 ，根据 ，求出公比，再根据通项公式即可求出答案.10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上.若 ，则点 到 轴的距离为（）A.B.3C.D.【答案】C
12、【考点】圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】由题意椭圆 的半焦距 ，又 ，点 在以 为半径，以原点为圆心的圆上，即 ，与椭圆 联立，可得 ，点 到 轴的距离为 ，故答案为：C.【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的半焦距 c，根据 PF1PF2，推断出点 P 在以 为半径，以原点为圆心的圆上，进而求得该圆的方程与椭圆的方程联立求得交点的坐标，则根据点 P 所在的象限确定其横坐标.11.平面向量 与 共线，则 的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C 【考点】基本不等式【解析】【解答】平面向量 与 共线，当且仅当 ，时取等号，故答案为：C.【分析】先由向量共线求出 a+2b=4,再根据基本不等式即可求出
13、.12.过点 的直线与抛物线 相交于 两点，若 ，则点 到抛物线 的焦点的距离为（）A.B.C.D.【答案】C 【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】如图所示，设 ，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程 ，则抛物线的焦点坐标 ，则 ，且 ，即 ，则 ，解得 ，故答案为：C.【分析】画出图形，设 ，求出抛物线的焦点坐标，通过 ，推出 且 ，几何抛物线方程,求出 A 的横坐标，然后求解点 A 到抛物线 C 的焦点的距离.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ，则 _【答案】1 【考点】函数的值【解析】【解答】函数 ，.【分析】由已知
14、得 ，从而 ，由此能求出结果。14.已知实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_【答案】2 【考点】简单线性规划【解析】【解答】约束条件的可行域如图 2 阴影部分，直线 ，经过可行域 时，在 轴上的截距取得最小值，此时 取得最大值.，解得 ，所以 的最大值为 2.【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可.15.已知数列 的首项为 ，前 项和为 ，且 ，则数列 的前 项和 _【答案】【考点】数列递推式【解析】【解答】，化为 ，数列 是等比数列，首项为 4，公比为 2，.【分析】由 ，可得 ，化为 ，利用等比数列的通项公式即可得出。16.过双曲线 的右顶点作 轴的垂线与 的
15、一条渐近线相交于点 .若以 的右焦点 为圆心、半径为 3 的圆经过 两点（为坐标原点），则双曲线 的离心率为_【答案】2 【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】因为双曲线的渐近线方程 ，所以 或 ，因此 ，即 ，整理可得 ，因为 ，解得 ，所以双曲线的离心率为 .【分析】求出 A 的坐标，利用已知条件列出方程，求出 a,然后求解双曲线的离心率即可.三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在 中，内角 所对的边 满足 ，.（1）求 ；（2）若 ，求 的面积.【答案】（1）因为 利用正弦定理 所以 ，所以 ，故 ，由于 ，所以 .利用余弦定理 ；（2）由（1）得：
16、当 时，所以 .【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果；（2）利用三角函数的关系式的变换和三角形的面积公式的应用求出结果.18.已知圆 经过点 .（1）求圆 的方程；（2）设点 为直线 上一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 .若 ，求点 的坐标.【答案】（1）设圆 的方程为 ，则 解得 圆 的方程为 ；（2）如图 3，设点 ，由（1）知，圆心 ，半径 ，由已知 ，在 中，有 ，则 ，解得 或 ，即有点 的坐标为 或 .【考点】圆的一般方程，直线与圆的位置关系【解析】【分析】(1)设圆 C 的方程为 ,把点的坐标代入圆的方程，可得关于D、E
17、、F 的方程组，求得 D、E、F 的值，可得圆的方程；(2)设点 P(2y+1,y),由图可知|PC|=2|CE|，再由两点间的距离公式列式求得 y 值，则点 P 的坐标可求.19.数列 的前 项和为 ，且 .（1）求 和 ；（2）求数列 的前 项和 .【答案】（1）当 时，解得 ；当 时，由 ，可得 ，两式相减得：，即 ，又当 时，也适合上式，.（2）由（1）可得：，.【考点】数列的求和，数列递推式【解析】【分析】(1)先由题设求得 a1,再利用 an=Sn-Sn-1 求得 an 的表达式，并检验 a1 是否适合,从而求得 an,再求得 即可;(2)先由(1)求得 ,再利用裂项相消法求得其前
18、 n 项和.20.某班主任对本班 40 名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中 在纵轴上对应的高度分别为 ，0.02，0.0375，0.0175，如图 3 所示.（1）求实数 的值以及参加课外活动时间在 中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这 40 名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于 50 分钟的人（含男生甲）中任选 3 人，求其中的男生甲被选中的概率.【答案】（1）因为所有小矩形面积之和等于 1，所以 ，解得 ，由于参加课外活动时间在 内的频率等于 ，因此参加课外活动时间在 中的人数为 人.（
19、2）依题意，参加课外活动时间在 ，中的人数分别为 5 人，8 人，15 人，7 人，5 人，因此这 40 名同学平均每天参加课外活动的时间为：（分钟）.（3）设每天参加活动不少于 50 分钟的 5 人分别为 ，甲，从中任选 3 人，可能的情况有：甲 甲 甲 甲 甲 甲，共 10 种，设“其中的男生甲被选中”为事件 ，则事件 包括的情况有：甲 甲 甲 甲 甲 甲，共 6 种，因此事件 发生的概率为 .【考点】频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】(1)直接利用频率分布直方图的应用求出结果;(2)利用平均值的算式的应用求出结果;(3)利用古典概型公式的应用求出结果.21.如图所示
20、，在四棱锥 中，四边形 是直角梯形，平面 ，为 的中点.（1）求证：平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，易知 ，又 ，故 ，四边形 为平行四边形，.又 平面 ，平面 ，平面 ；（2）解：以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设平面 的法向量为 ，则 ，则可取 ，设平面 的法向量为 ，则 ，则可取 ，易知二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 .【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)取 AE 中点 F，连接 FN,BF，证明四边形 BCNF 为平行四边形，即可证得 NC/BF
21、,进而得证；(2)以 为坐标原点，所在直线分别为 轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量，利用向量公式求解即可.22.已知椭圆 与直线 交于 两点，过原点 与线段 中点 的直线的斜率为 .（1）求椭圆 的离心率；（2）若椭圆 的短轴长为 ，点 为长轴的右顶点，求 的面积.【答案】（1）设 ，则椭圆 的方程为 ，联立 ，消去 可得 ，设 ，则 ，所以 ，所以 的中点 的坐标为 ，由题意可得 ，所以 ，即 ，所以椭圆的离心率为 ；（2）因为椭圆的短轴长为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，点 到直线 的距离为 ，所以三角形 的面积为 .【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)联立椭圆 C 与直线 的方程，求出点 E 的坐标，根据 OE 的斜率求出 的值，进而可以求出椭圆的离心率;(2)根据(1)中的结论结合短轴长求出 m,n 的值，进而可以求出 的长与点 A 到直线的距离，根据三角形面积公式，即可求解.